Schwingungen sind überall um uns herum, von der makroskopischen Welt der Pendel und der Schwingung von Saiten bis zur mikroskopischen Welt der Bewegung von Elektronen in Atomen und elektromagnetischer Strahlung.
Eine Bewegung wie diese, die einem vorhersagbaren, sich wiederholenden Muster unterliegt, ist bekannt alsperiodische Bewegungoderoszillierende Bewegung, und das Erlernen der Größen, mit denen Sie jede Art von Schwingbewegung beschreiben können, ist ein wichtiger Schritt beim Erlernen der Physik dieser Systeme.
Eine bestimmte Art von periodischer Bewegung, die mathematisch leicht zu beschreiben ist, isteinfache harmonische Bewegung, aber sobald Sie die Schlüsselkonzepte verstanden haben, ist es einfach, sie auf komplexere Systeme zu verallgemeinern.
Periodische Bewegung
Periodische Bewegung oder einfach wiederholte Bewegung wird durch drei Schlüsselgrößen definiert: Amplitude, Periode und Frequenz. DasAmplitude EINeiner periodischen Bewegung ist die maximale Verschiebung aus der Gleichgewichtslage (die man sich vorstellen kann als „Ruhe“-Position, wie die stationäre Position einer Saite oder der tiefste Punkt eines Pendels Pfad).
DasZeitraum Teiner oszillierenden Bewegung ist die Zeit, die das Objekt benötigt, um einen „Bewegungszyklus“ abzuschließen. Zum Beispiel könnte ein Pendel auf einer Uhr alle zwei Sekunden einen vollständigen Zyklus durchlaufen, und so hätte esT= 2 s.
DasFrequenz fist der Kehrwert der Periode, oder anders ausgedrückt, die Anzahl der Zyklen, die pro Sekunde (oder Zeiteinheit,t). Für das Pendel auf einer Uhr macht es einen halben Zyklus pro Sekunde, also hat esf= 0,5 Hz, wobei 1 Hertz (Hz) eine Schwingung pro Sekunde bedeutet.
Einfache harmonische Bewegung (SHM)
Simple Harmonic Motion (SHM) ist ein Sonderfall der periodischen Bewegung, bei der die einzige Kraft eine Rückstellkraft ist und die Bewegung eine einfache Schwingung ist. Eine der grundlegenden Eigenschaften von SHM ist, dass die Rückstellkraft direkt proportional zur Verschiebung aus der Gleichgewichtslage ist.
Zurück zum Beispiel einer Saite, die gezupft wird: Je weiter Sie sie aus der Ruheposition ziehen, desto schneller bewegt sie sich zurück. Die andere Haupteigenschaft der einfachen harmonischen Bewegung besteht darin, dass die Amplitude unabhängig von der Frequenz und Periode der Bewegung ist.
Der einfachste Fall einer einfachen harmonischen Bewegung ist, wenn die oszillierende Bewegung nur in eine Richtung erfolgt (d. h. Bewegung hin und her), aber Sie kann andere Bewegungsarten (z. B. Kreisbewegung) als Kombination mehrerer Fälle einfacher harmonischer Bewegung in verschiedene Richtungen modellieren, auch.
Einige Beispiele für eine einfache harmonische Bewegung sind eine Masse auf einer Feder, die infolge einer Dehnung oder Kompression der Feder auf und ab schwingt, ein Kleinwinkelpendel angle Hin- und Herschaukeln unter dem Einfluss der Schwerkraft und sogar zweidimensionale Beispiele von Kreisbewegungen wie ein Kind, das auf einem Karussell herumfährt oder Karussell.
Bewegungsgleichungen für einfache harmonische Oszillatoren
Wie im vorigen Abschnitt erwähnt, gibt es eine interessante Beziehung zwischen gleichförmiger Kreisbewegung und einfacher harmonischer Bewegung. Stellen Sie sich einen Punkt auf einem Kreis vor, der sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine feste Achse dreht, und Sie verfolgen diex-Koordinate dieses Punktes während seiner kreisförmigen Bewegung.
Die Gleichungen, die die beschreibenxPosition,xGeschwindigkeit undxBeschleunigung dieses Punktes beschreibt die Bewegung eines einfachen harmonischen Oszillators. Verwenden vonx(t) für die Position als Funktion der Zeit,v(t) für Geschwindigkeit als Funktion der Zeit undein(t) für die Beschleunigung als Funktion der Zeit lauten die Gleichungen:
x (t) = A \sin (ωt) \\ v (t) = −Aω \cos (ωt) \\ a (t) = −Aω^2 \sin (ωt)
Woωist die Kreisfrequenz (bezogen auf die gewöhnliche Frequenz umω = 2πf) in Radianten pro Sekunde, und wir verwenden timetwie in den meisten Gleichungen. Wie im ersten Abschnitt ausgeführt,EINist die Bewegungsamplitude.
Aus diesen Definitionen können Sie einfache harmonische Bewegungen und oszillierende Bewegungen im Allgemeinen charakterisieren. Sie können beispielsweise an der Sinusfunktion sowohl in der Positions- als auch in der Beschleunigungsgleichung erkennen, dass diese beiden zusammen variieren, sodass die maximale Beschleunigung bei der maximalen Verschiebung auftritt. Die Geschwindigkeitsgleichung hängt vom Kosinus ab, der seinen maximalen (absoluten) Wert genau auf halbem Weg zwischen der maximalen Beschleunigung (oder Verschiebung) im annimmtxoder -xRichtung, also in der Gleichgewichtslage.
Masse an einer Feder
Das Hookesche Gesetz beschreibt eine Form der einfachen harmonischen Bewegung einer Feder und besagt, dass die Rückstellkraft der Feder proportional zur Verschiebung aus dem Gleichgewicht ist (∆∆x, d. h. Änderung inx) und hat eine „Proportionalitätskonstante“, die Federkonstante genannt wird,k. In Symbolen besagt die Gleichung:
F_{Frühling} = −k∆x
Das negative Vorzeichen sagt hier aus, dass es sich bei der Kraft um eine Rückstellkraft handelt, die der Verschiebung entgegengesetzt wirkt und in der SI-Einheit der Kraft Newton (N) gemessen wird.
Für eine Masseichan einer Feder heißt die maximale Auslenkung (Amplitude) wiederEIN, undωist definiert als:
= \sqrt{\frac{k}{m}}
Diese Gleichung kann mit der Positionsgleichung für einfache harmonische Bewegung verwendet werden (um die Position der Masse jederzeit zu finden) und dann an die Stelle des ∆xim Hookeschen Gesetz, um die Größe der Rückstellkraft jederzeit zu bestimment. Die vollständige Beziehung für die Rückstellkraft wäre:
F_{Frühling} = −k A \sin\bigg(\sqrt{\frac{k}{m}} t\bigg)
Kleinwinkelpendel
Bei einem Pendel mit kleinem Winkel ist die Rückstellkraft proportional zur maximalen Winkelverschiebung (d. h. der Änderung aus der Gleichgewichtsposition, ausgedrückt als Winkel). Hier die AmplitudeEINist der maximale Winkel des Pendels undωist definiert als:
= \sqrt{\frac{g}{L}}
WoG= 9,81 m/s2 undList die Länge des Pendels. Auch dies kann in die Bewegungsgleichungen für einfache harmonische Bewegungen eingesetzt werden, außer dass Sie beachten sollten, dassxwürde sich in diesem Fall auf dieeckigVerschiebung statt der linearen Verschiebung imx-Richtung. Dies wird manchmal durch das Symbol Theta (θ) anstelle desxin diesem Fall.
Gedämpfte Schwingungen
In der Physik werden in vielen Fällen Komplikationen wie Reibung vernachlässigt, um die Berechnungen in Situationen zu vereinfachen, in denen sie wahrscheinlich sowieso vernachlässigbar wären. Es gibt Ausdrücke, die Sie verwenden können, wenn Sie einen Fall berechnen müssen, in dem Reibung wichtig wird Denken Sie daran, dass Schwingungen unter Berücksichtigung der Reibung „gedämpft“ werden, was bedeutet, dass ihre Amplitude mit jedem abnimmt Schwingung. Jedoch bleiben Periode und Frequenz der Schwingung auch bei Reibung unverändert.
Erzwungene Schwingungen und Resonanz
Resonanz ist im Grunde das Gegenteil einer gedämpften Schwingung. Alle Objekte haben eine Eigenfrequenz, mit der sie „gerne“ schwingen, und wenn die Schwingung mit dieser Frequenz (durch eine periodische Kraft) erzwungen oder angetrieben wird, nimmt die Amplitude der Bewegung zu. Die Frequenz, bei der Resonanz auftritt, wird Resonanzfrequenz genannt, und im Allgemeinen haben alle Objekte ihre eigene Resonanzfrequenz, die von ihren physikalischen Eigenschaften abhängt.
Wie bei der Dämpfung wird die Berechnung der Bewegung unter diesen Umständen komplizierter, aber es ist möglich, wenn Sie ein Problem angehen, das dies erfordert. Es reicht jedoch aus, die wichtigsten Aspekte des Verhaltens des Objekts in diesen Situationen zu verstehen für die meisten Zwecke, insbesondere wenn Sie zum ersten Mal etwas über die Physik von lernen Schwingungen!
