Pendel kommen in unserem Leben ziemlich häufig vor: Sie haben vielleicht eine Standuhr mit einem langen Pendel gesehen, die im Laufe der Zeit langsam schwingt. Die Uhr benötigt ein funktionierendes Pendel, um die Zifferblätter auf dem Zifferblatt, die die Zeit anzeigen, korrekt vorzustellen. Es ist also wahrscheinlich, dass ein Uhrmacher verstehen muss, wie man die Periode eines Pendels berechnet.
Die Pendelperiodenformel,T, ist ziemlich einfach:
T=\sqrt{\frac{L}{g}}
woGist die Erdbeschleunigung undList die Länge der Schnur, die am Bob (oder der Masse) befestigt ist.
Die Dimension dieser Größe ist eine Zeiteinheit wie Sekunden, Stunden oder Tage.
Ebenso die Schwingungsfrequenz,f, ist 1/T, oder
f=\sqrt{\frac{g}{L}}
die Ihnen sagt, wie viele Schwingungen pro Zeiteinheit stattfinden.
Masse ist egal
Die wirklich interessante Physik hinter dieser Formel für die Periode eines Pendels ist, dass die Masse keine Rolle spielt! Wenn diese Periodenformel aus der Pendelbewegungsgleichung abgeleitet wird, hebt sich die Abhängigkeit der Masse des Bobs auf. Obwohl es kontraintuitiv erscheint, ist es wichtig, sich daran zu erinnern, dass die Masse des Bobs die Periode eines Pendels nicht beeinflusst.
...aber diese Gleichung funktioniert nur unter besonderen Bedingungen
Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass diese Formel nur für "kleine Winkel" funktioniert.
Was ist ein kleiner Winkel und warum ist das so? Der Grund dafür ergibt sich aus der Herleitung der Bewegungsgleichung. Um diese Beziehung herzuleiten, ist es notwendig, die Kleinwinkelnäherung auf die Funktion anzuwenden: Sinus vonθ, woθist der Winkel des Bobs in Bezug auf den tiefsten Punkt seiner Flugbahn (normalerweise der stabile Punkt am unteren Rand des Bogens, den er beim Hin- und Herschwingen nachzeichnet.)
Die Kleinwinkel-Approximation kann gemacht werden, weil für kleine Winkel der Sinus vonθist fast gleichθ. Bei sehr großen Schwingungswinkeln gilt die Näherung nicht mehr und eine andere Herleitung und Gleichung für die Pendelperiode ist notwendig.
In den meisten Fällen der einführenden Physik genügt die Periodengleichung.
Einige einfache Beispiele
Aufgrund der Einfachheit der Gleichung und der Tatsache, dass eine der beiden Variablen in der Gleichung eine physikalische Konstante ist, gibt es einige einfache Beziehungen, die Sie in Ihrer Hosentasche behalten können!
Die Erdbeschleunigung ist9,8 m/s2, also für ein ein Meter langes Pendel ist die Periode
T=\sqrt{\frac{1}{9.8}}=0.32\text{ Sekunden}
Wenn ich dir jetzt sage, dass das Pendel 2 Meter beträgt? Oder 4 Meter? Das Praktische daran, sich diese Zahl zu merken, ist, dass Sie dieses Ergebnis einfach um die skalieren können Quadratwurzel des numerischen Faktors der Zunahme, weil Sie die Periode für einen Meter Länge kennen Pendel.
Also für ein 1 Millimeter langes Pendel? Multiplizieren Sie 0,32 Sekunden mit der Quadratwurzel von 10-3 Meter, und das ist Ihre Antwort!
Messung der Periode eines Pendels
Sie können die Periode eines Pendels leicht messen, indem Sie Folgendes tun.
Konstruieren Sie Ihr Pendel wie gewünscht, messen Sie einfach die Länge der Schnur von dem Punkt, an dem sie an einer Halterung befestigt ist, bis zum Massenschwerpunkt des Bobs. Mit der Formel können Sie jetzt die Periode berechnen. Wir können aber auch einfach eine Schwingung messen (oder mehrere, und dann die von Ihnen gemessene Zeit durch die Anzahl der gemessenen Schwingungen dividieren) und die gemessenen Werte mit den Ergebnissen der Formel vergleichen.
Ein einfaches Pendelexperiment!
Ein weiteres einfaches Pendelexperiment besteht darin, ein Pendel zu verwenden, um die lokale Erdbeschleunigung zu messen.
Anstatt den Durchschnittswert von zu verwenden9,8 m/s2, messen Sie die Länge Ihres Pendels, messen Sie die Periode und lösen Sie dann nach der Erdbeschleunigung auf. Nehmen Sie das gleiche Pendel auf die Spitze eines Hügels und führen Sie Ihre Messungen erneut durch.
Bemerken Sie eine Änderung? Wie viel Höhenunterschied müssen Sie erreichen, um eine Änderung der lokalen Erdbeschleunigung zu bemerken? Versuch es!