I en geometrisk sekvens er hvert udtryk lig med det foregående udtryk gange en konstant multiplikator, der ikke er nul, kaldet den fælles faktor. Geometriske sekvenser kan have et fast antal udtryk, eller de kan være uendelige. I begge tilfælde kan vilkårene for en geometrisk sekvens hurtigt blive meget store, meget negative eller meget tæt på nul. Sammenlignet med aritmetiske sekvenser ændres udtrykkene meget hurtigere, men mens de er uendelige aritmetiske sekvenser stiger eller falder støt, geometriske sekvenser kan nærme sig nul afhængigt af det fælles faktor.
TL; DR (for lang; Har ikke læst)
En geometrisk sekvens er en ordnet liste med tal, hvor hvert udtryk er produktet af det foregående udtryk og en fast, ikke-nul multiplikator kaldet den fælles faktor. Hvert udtryk i en geometrisk sekvens er det geometriske gennemsnit af udtrykkene, der går forud for og følger det. Uendelige geometriske sekvenser med en fælles faktor mellem +1 og -1 nærmer sig grænsen på nul som termer tilføjes, mens sekvenser med en fælles faktor større end +1 eller mindre end -1 går til plus eller minus uendelighed.
Sådan fungerer geometriske sekvenser
En geometrisk sekvens defineres ved dets startnummer-en, den fælles faktorrog antallet af udtrykS. Den tilsvarende generelle form for en geometrisk sekvens er:
a, ar, ar ^ 2, ar ^ 3,... , ar ^ {S-1}
Den generelle formel for udtryknaf en geometrisk sekvens (dvs. ethvert udtryk inden for denne sekvens) er:
a_n = ar ^ {n-1}
Den rekursive formel, der definerer et udtryk i forhold til det forrige udtryk, er:
a_n = ra_ {n-1}
Et eksempel på en geometrisk sekvens med startnummer 3, fælles faktor 2 og otte termer er 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Beregning af den sidste periode ved hjælp af den generelle form, der er anført ovenfor, er udtrykket:
a_8 = 3 × 2 ^ {8-1} = 3 × 2 ^ 7 = 3 × 128 = 384
Brug af den generelle formel til term 4:
a_4 = 3 × 2 ^ {4-1} = 3 × 2 ^ 3 = 3 × 8 = 24
Hvis du vil bruge den rekursive formel til sigt 5, er sigt 4 = 24, og a5 lige med:
a_5 = 2 × 24 = 48
Egenskaber for geometriske sekvenser
Geometriske sekvenser har specielle egenskaber for så vidt angår det geometriske gennemsnit. Det geometriske gennemsnit af to tal er kvadratroden af deres produkt. For eksempel er det geometriske gennemsnit på 5 og 20 10, fordi produktet 5 × 20 = 100 og kvadratroden på 100 er 10.
I geometriske sekvenser er hvert udtryk det geometriske gennemsnit af udtrykket før det og udtrykket efter det. For eksempel i sekvensen 3, 6, 12... ovenfor er 6 det geometriske gennemsnit af 3 og 12, 12 er det geometriske gennemsnit af 6 og 24, og 24 er det geometriske gennemsnit af 12 og 48.
Andre egenskaber ved geometriske sekvenser afhænger af den fælles faktor. Hvis den fælles faktorrer større end 1, vil uendelige geometriske sekvenser nærme sig uendelig uendelighed. Hvisrer mellem 0 og 1, vil sekvenserne nærme sig nul. Hvisrer mellem nul og −1, vil sekvenserne nærme sig nul, men udtrykkene vil skifte mellem positive og negative værdier. Hvisrer mindre end -1, vil vilkårene tendere mod både positiv og negativ uendelighed, da de veksler mellem positive og negative værdier.
Geometriske sekvenser og deres egenskaber er især nyttige i videnskabelige og matematiske modeller af processer i den virkelige verden. Brug af specifikke sekvenser kan hjælpe med undersøgelsen af populationer, der vokser med en fast sats over givne tidsperioder eller investeringer, der tjener interesse. De generelle og rekursive formler gør det muligt at forudsige nøjagtige værdier i fremtiden baseret på udgangspunktet og den fælles faktor.