Sådan løses ligningssystemer ved at tegne graf

Ligningssystemer kan hjælpe med at løse spørgsmål fra det virkelige liv inden for alle slags felter, fra kemi til forretning til sport. At løse dem er ikke kun vigtigt for dine matematiske karakterer; det kan spare dig for meget tid, uanset om du prøver at sætte mål for din virksomhed eller dit sportshold.

TL; DR (for lang; Har ikke læst)

For at løse et ligningssystem ved at tegne grafer skal du tegne hver linje på det samme koordinatplan og se, hvor de skærer hinanden.

Forestil dig for eksempel, at du og din ven opretter en limonadestand. Du beslutter dig for at dele og erobre, så din ven går til kvarterets basketballbane, mens du bliver på din families gadehjørne. I slutningen af ​​dagen samler du dine penge. Sammen har du tjent $ 200, men din ven tjente $ 50 mere end dig. Hvor mange penge tjente hver af jer?

Eller tænk på basketball: Skud, der er lavet uden for 3-punktslinjen, er 3 point værd, kurve, der er lavet inde i 3-punktslinjen, er 2 point værd, og frikast er kun 1 point værd. Din modstander er 19 point foran dig. Hvilke kombinationer af kurve kunne du lave for at indhente?

Graftegning er en af ​​de enkleste måder at løse ligningssystemer på. Alt hvad du skal gøre er at tegne begge linjer på det samme koordinatplan og derefter se, hvor de skærer hinanden.

Først skal du skrive ordproblemet som et ligningssystem. Tildel variabler til de ukendte. Ring til de penge, du tjenerYog de penge, din ven tjenerF​.

Nu har du to slags oplysninger: oplysninger om, hvor mange penge du tjente sammen, og oplysninger om, hvordan de penge, du tjente i forhold til de penge, din ven tjente. Hver af disse bliver en ligning.

For den første ligning, skriv:

da dine penge plus din vens penge udgør $ 200.

Skriv derefter en ligning for at beskrive sammenligningen mellem din indtjening.

fordi det beløb, du lavede, er lig med 50 dollars mindre end det, din ven lavede. Du kan også skrive denne ligning somY​ + 50 = ​F, da hvad du lavede plus 50 dollars svarer til hvad din ven lavede. Disse er forskellige måder at skrive det samme på og ændrer ikke dit endelige svar.

Så ligningssystemet ser sådan ud:

Dernæst skal du tegne begge ligninger på det samme koordinatplan. Graf dit beløb,Y, på deny-aks og din vens beløb,F, på denx-axis (det betyder faktisk ikke noget, hvilken er, så længe du mærker dem korrekt). Du kan bruge grafpapir og en blyant, en håndholdt grafregner eller en online grafregner.

Lige nu er en ligning i standardform, og en er i hældningsafskæringsform. Det er ikke et problem, nødvendigvis, men af ​​hensyn til konsistens, få begge ligninger i hældningsafskæringsform.

Så for den første ligning skal du konvertere fra standardform til form for hældningsfang. Det betyder løse forY; med andre ord, fåYaf sig selv på venstre side af ligetegnet. Så trækFfra begge sider:

Husk, at i hældningsskæringsform er tallet foran F hældningen, og konstanten er y-skæringen.

For at tegne den første ligningY​ = −​F+ 200, tegn et punkt på (0, 200), og brug derefter hældningen til at finde flere point. Hældningen er -1, så gå ned en enhed og over en enhed og tegn et punkt. Det skaber et punkt ved (1, 199), og hvis du gentager processen startende med dette punkt, får du et andet punkt ved (2, 198). Disse er små bevægelser på en stor linje, så træk et punkt mere tilx-intercept for at sikre, at du har tingene pænt tegnet i det lange løb. HvisY= 0, derefterFbliver 200, så træk et punkt på (200, 0).

For at tegne den anden ligning,Y​ = ​F- 50, brug y-skæringspunktet −50 til at tegne det første punkt ved (0, −50). Da hældningen er 1, skal du starte med (0, −50) og derefter gå op en enhed og over en enhed. Det sætter dig på (1, −49). Gentag processen startende fra (1, −49), og du får et tredje punkt ved (2, −48). Igen, for at sikre at du laver ting pænt over lange afstande, skal du dobbelttjekke dig selv ved også at trække ix-intercept. HvornårY​ = 0, ​Fbliver 50, så træk også et punkt på (50, 0). Tegn en pæn linje, der forbinder disse punkter.

Se nærmere på din graf for at se, hvor de to linjer krydser hinanden. Dette vil være løsningen, fordi løsningen på et ligningssystem er det punkt (eller punkter), der gør begge ligninger sande. På en graf vil dette ligne det punkt (eller punkter), hvor de to linjer krydser hinanden.

I dette tilfælde krydser de to linjer ved (125, 75). Så løsningen er, at din ven (x-koordinat) tjente $ 125, og du (y-koordinat) tjente $ 75.

Hurtig logisk kontrol: Er det fornuftigt? Sammen tilføjer de to værdier til 200, og 125 er 50 mere end 75. Lyder godt.

I dette tilfælde var der nøjagtigt et punkt, hvor de to linjer krydsede hinanden. Når du arbejder med ligningssystemer, er der tre mulige resultater, og hver vil se anderledes ud på en graf.

• Hvis systemet har en løsning, krydser linjerne på et enkelt punkt, som de gjorde i eksemplet.
• Hvis systemet ikke har nogen løsninger, krydser linierne aldrig. De vil være parallelle, hvilket algebraisk betyder, at de vil have samme hældning.
• Systemet kan også have uendelige løsninger, hvilket betyder, at dine "to" linjer faktisk er den samme linje. Så de har hvert eneste punkt til fælles, hvilket er et uendeligt antal løsninger.