Begrebetegenværdierer uklar, men er meget praktisk for matematikere og fysikere, der står over for visse interessante problemer.
For at forstå en egenværdi, forestil dig at have en funktion (f.eks.y = x2 + 6x, ellery= log 4x) at du kunne gennemføre en eller anden proces, så resultatet ville være det samme som at multiplicere hele funktionen med en konstant værdi. En sådan funktion vil kunne betegnes som enegenfunktion, og konstanten ville være en egenværdi.
- "Eigen" er tysk for "samme".
For bedst at forstå egenværdier og egenfunktioner og selv kunne beregne egenværdier har du brug for en grundlæggende forståelse af matricer. Disse matematiske tricks bruges til at bestemme sige, bindingsrækkefølgen af NO2 (nitrogendioxid) og andre molekyler, fordi elektronadfærd i atomer bestemmes af bølgefunktioner, der betegnes som egenfunktioner.
Hvad er en matrix?
En matrix er en række numre, der er bestilt i rækker og kolonner, som kan nummerere fra 1 tiln. Matricernes dimensioner er angivet som række for kolonne; for eksempel er følgende en 2-ved-3-matrix:
\ begin {bmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ \ end {bmatrix}
Matricer kan tilføjes, hvis de har samme størrelse (dvs. har det samme antal rækker og det samme antal kolonner). De kan også ganges sammen ved en trinvis proces under de samme betingelser. Derudover kan enhver matrix ganges med en vektor, som er en 1-for-nellern-by-1 matrix; dette inkluderer andre vektorer.
Hvad er en Eigenvalue ligning?
Sig, du har enn-ved-neller "firkantet" matrixEN, en ikke-nuln-by-1 vektorvog en skalarλ, således at følgende ligning er opfyldt:
\ bold {Av} = λ \ fed {v}
Enhver værdi afλhvor denne ligning har en løsning, er kendt som en egenværdi af matrixenEN.
Lad ikke dit sind behandle ovenstående udtryk som produkt.ENer enoperatørpå eller en lineær transformation af vektorenv, denne beregning er kun mulig på grund afENogvbegge harnrækker.
Hvorfor bruge Eigenvalue-funktioner?
Afledningen er kompliceret, men i atomkemi bruges den Hamilton-operatør "H-bar" til at udtrykke den kinetiske og potentielle energi i et system:
\ hat H = - \ dfrac {ℏ} {2m} ∇ ^ 2 + \ hat V (x, y, z)
Dette bruges til at skrive en form forSchrodinger-bølgefunktionsligningi kvantemekanik:
\ hat Hψ (x, y, z) = Eψ (x, y, z)
HerErepræsenterer egenværdierne, der tilfredsstiller denne ligning.
Måder at finde Eigenværdierne i en matrix
Fra ligningen Av = λv får duEN v − λv=0. Dette fører til:
\ bold {A v} - λ (\ bold {I v}) = 0
Hvorjeger 2-ved-2 identitetsmatrix med rækker af [λ0] og [0λ], hvilket fører til 1 når den ganges med skalarenλ. Dette resultat giver:
(\ bold {A} - λ \ bold {I}) \ bold {v} = 0
Hvilket hvisver ikke-nul, har kun en løsning, hvis den absolutte værdi afEN− λjeg, eller |EN − λjeg|, er nul. Hvis du gør disse i hånden, involverer det at løse en kvadratisk ligning og kan være kedelig.
For at multiplicere to matricer sammen for hvert punkt i produktmatrixen multiplicerer du de tilsvarende point sammen og tilføj dette til produkterne fra de resterende række- og kolonneelementer i rækken og kolonnen, som det nye punkt er hører til.
Ved multiplikation af to 2-til-2-matricerENogBsammen, hvis den første række afENer [1 3] og den første kolonne iBer [2 5], ville tallet i den første kolonne og række i den nye matrix være [(1 × 2) + (3 × 5)] = 15 og tilsvarende for de andre tre punkter.
Beregn Eigenvalues Online
I ressourcerne finder du et matrixberegningsværktøj, der giver dig mulighed for at finde egenværdier og mere til en matrix af næsten enhver tænkelig størrelse.