Du kan se på omvendte forhold i matematik på tre måder. Den første måde er at overveje operationer, der annullerer hinanden. Addition og subtraktion er de to mest åbenlyse operationer, der opfører sig på denne måde.
En anden måde at se på omvendte relationer er at overveje den type kurver, de producerer, når du tegner forhold mellem to variabler. Hvis forholdet mellem variablerne er direkte, øges den afhængige variabel, når du øger den uafhængige variabel, og grafen kurver mod stigende værdier for begge variabler. Men hvis forholdet er invers, bliver den afhængige variabel mindre, når den uafhængige øges, og grafen kurver mod mindre værdier for den afhængige variabel.
Visse par funktioner giver et tredje eksempel på omvendte forhold. Når du tegner funktioner, der er omvendte af hinanden på en x-y-akse, vises kurverne som spejlbilleder af hinanden i forhold til linjen x = y.
Inverse matematiske operationer
Addition er den mest basale af aritmetiske operationer, og den kommer med en ond tvilling - subtraktion - der kan fortryde, hvad den gør. Lad os sige, at du starter med 5, og du tilføjer 7. Du får 12, men hvis du trækker 7, vil du være tilbage med de 5, som du startede med. Det omvendte af addition er subtraktion, og nettoresultatet af at tilføje og trække det samme antal svarer til at tilføje 0.
Et lignende omvendt forhold eksisterer mellem multiplikation og division. Nettoresultatet ved at gange og dividere et tal med den samme faktor er at gange tallet med 1, hvilket efterlader det uændret. Dette omvendte forhold er nyttigt ved forenkling af komplekse algebraiske udtryk og løsning af ligninger.
Et andet par inverse matematiske operationer hæver et tal til en eksponent "n"og tagernnummerets rod. Det firkantede forhold er det nemmeste at overveje. Hvis du kvadrerer 2, får du 4, og hvis du tager kvadratroden af 4, får du 2. Dette omvendte forhold er også nyttigt at huske, når man løser komplekse ligninger.
Funktioner kan være omvendte eller direkte
En funktion er en regel, der producerer et og kun et resultat for hvert nummer, du indtaster. Det antal sæt, du indtaster, kaldes funktionens domæne, og det sæt af resultater, som funktionen producerer, er området. Hvis funktionen er direkte, producerer en domænesekvens af positive tal, der bliver større, en række række af tal, der også bliver større.
f (x) = 2x + 2, f (x) = x ^ 2 \ text {og} f (x) = \ sqrt {x}
er alle direkte funktioner.
En omvendt funktion opfører sig på en anden måde. Når tallene i domænet bliver større, bliver tallene i området mindre.
f (x) = \ frac {1} {x}
er den enkleste form for en invers funktion. Når x bliver større, f (x) kommer tættere og tættere på 0. Dybest set er enhver funktion med inputvariablen i nævneren af en brøk og kun i nævneren en invers funktion. Andre eksempler inkluderer
f (x) = \ frac {n} {x}
hvorner ethvert tal,
f (x) = \ frac {n} {\ sqrt {x}}
og
f (x) = \ frac {n} {x + w}
hvorwer et hvilket som helst heltal.
To funktioner kan have et omvendt forhold til hinanden
Et tredje eksempel på et omvendt forhold i matematik er et par funktioner, der er inverse til hinanden. Antag som et eksempel, at du indtaster tallene 2, 3, 4 og 5 i funktionen
y = 2x + 1
Du får disse point: (2,5), (3,7), (4,9) og (5,11). Dette er en lige linje med hældning 2 ogy-intercept 1.
Vend nu tallene i parenteserne for at oprette en ny funktion: (5,2), (7,3), (9,4) og (11,5). Området for den oprindelige funktion bliver domænet for den nye og domænet for den oprindelige funktion bliver området for den nye. Det er også en linje, men dens hældning er 1/2 og densy-intercept er −1/2. Bruger
y = mx + b
form af en linje, finder du ligningen for linjen, der skal være
y = \ frac {1} {2} (x - 1)
Dette er det omvendte af den oprindelige funktion. Du kan lige så let udlede det ved at skiftexogyi den oprindelige funktion og forenkling at fåyaf sig selv til venstre for ligetegnet.