Rødderne til et polynom kaldes også dens nuller, fordi rødderne erxværdier, hvor funktionen er lig med nul. Når det kommer til faktisk at finde rødderne, har du flere teknikker til din rådighed; factoring er den metode, du bruger mest, selvom graf også kan være nyttig.
Hvor mange rødder?
Undersøg polynomets højeste grad sigt - det vil sige udtrykket med den højeste eksponent. Denne eksponent er hvor mange rødder polynomet vil have. Så hvis den højeste eksponent i dit polynom er 2, har den to rødder; hvis den højeste eksponent er 3, har den tre rødder; og så videre.
Advarsler
-
Der er en fangst: Rødder på et polynom kan være ægte eller imaginære. "Ægte" rødder er medlemmer af sættet kendt som reelle tal, som på dette tidspunkt i din matematikkarriere er hvert nummer, du er vant til at beskæftige dig med. At beherske imaginære tal er et helt andet emne, så husk lige nu tre ting:
- "Imaginære" rødder dukker op, når du har kvadratroden af et negativt tal. For eksempel √ (-9).
- Imaginære rødder kommer altid parvis.
- Rødderne til et polynom kan være ægte eller imaginære. Så hvis du har et polynom fra 5. grad, kan det have fem virkelige rødder, det kan have tre rigtige rødder og to imaginære rødder osv.
Find rødder efter faktorering: Eksempel 1
Den mest alsidige måde at finde rødder på er at faktorisere dit polynom så meget som muligt og derefter sætte hvert udtryk lig med nul. Dette giver meget mere mening, når du først har fulgt et par eksempler. Overvej det enkle polynomx2 – 4x:
En kort undersøgelse viser, at du kan faktorerexud af begge vilkår i polynomet, hvilket giver dig:
x (x - 4)
Sæt hvert udtryk til nul. Det betyder at løse to ligninger:
x = 0
er det første udtryk sat til nul, og
x - 4 = 0
er det andet udtryk sat til nul.
Du har allerede løsningen på den første periode. Hvisx= 0, så er hele udtrykket lig med nul. Såx= 0 er en af rødderne eller nuller til polynomet.
Overvej nu anden periode og løs påx. Hvis du tilføjer 4 til begge sider, har du:
x - 4 + 4 = 0 + 4
hvilket forenkler til:
x = 4
Så hvisx= 4, så er den anden faktor lig med nul, hvilket betyder, at hele polynomet også er lig med nul.
Fordi det oprindelige polynom var af anden grad (den højeste eksponent var to), ved du, at der kun er to mulige rødder til dette polynom. Du har allerede fundet dem begge, så alt hvad du skal gøre er at liste dem:
x = 0, x = 4
Find rødder efter faktorering: Eksempel 2
Her er endnu et eksempel på, hvordan man finder rødder ved factoring, ved hjælp af en smule algebra undervejs. Overvej polynometx4 – 16. Et hurtigt kig på dets eksponenter viser dig, at dette polynom skal være fire rødder; nu er det tid til at finde dem.
Har du bemærket, at dette polynom kan omskrives som forskellen i firkanter? Så i stedet forx4 - 16, du har:
(x ^ 2) ^ 2-4 ^ 2
Hvilket ved hjælp af formlen for forskellen i firkanter påvirker følgende:
(x ^ 2-4) (x ^ 2 + 4)
Den første periode er igen en forskel på firkanter. Så selvom du ikke kan faktorere udtrykket til højre længere, kan du faktorere udtrykket til venstre et skridt mere:
(x - 2) (x + 2) (x ^ 2 + 4)
Nu er det tid til at finde nuller. Det bliver hurtigt klart, at hvisx= 2, den første faktor vil være lig med nul, og dermed vil hele udtrykket være lig med nul.
Tilsvarende hvisx= −2, den anden faktor vil være lig med nul og således også hele udtrykket.
Såx= 2 ogx= −2 er begge nuller eller rødder til dette polynom.
Men hvad med det sidste valgperiode? Fordi den har en "2" eksponent, skal den have to rødder. Men du kan ikke faktorere dette udtryk ved hjælp af de reelle tal, du er vant til. Du bliver nødt til at bruge et meget avanceret matematisk koncept kaldet imaginære tal eller, hvis du foretrækker det, komplekse tal. Det er langt uden for rækkevidden af din nuværende matematikpraksis, så for nu er det nok at bemærke, at du har to virkelige rødder (2 og −2) og to imaginære rødder, som du lader udefineret.
Find rødder efter tegning
Du kan også finde eller i det mindste estimere rødder ved at tegne et diagram. Hver rod repræsenterer et sted, hvor grafen for funktionen krydserxakse. Så hvis du tegner linjen og notererxkoordinater, hvor linjen krydserxakse, kan du indsætte det anslåedexværdierne af disse punkter i din ligning, og kontroller, om du har fået dem korrekte.
Overvej det første eksempel, du arbejdede, for polynometx2 – 4x. Hvis du trækker det forsigtigt ud, vil du se, at linjen krydser linjenxakse vedx= 0 ogx= 4. Hvis du indtaster hver af disse værdier i den oprindelige ligning, får du:
0^2 - 4(0) = 0
såx= 0 var et gyldigt nul eller rod for dette polynom.
4^2 - 4(4) = 0
såx= 4 er også et gyldigt nul eller rod for dette polynom. Og fordi polynomet var af grad 2, ved du, at du kan stoppe med at finde to rødder.