Du kan repræsentere en hvilken som helst linje, som du kan tegne på en todimensionel x-y-akse ved en lineær ligning. Et af de enkleste algebraiske udtryk, en lineær ligning er en, der relaterer den første styrke af x til den første styrke af y. En lineær ligning kan antage en af tre former: hældningspunktsform, hældningsafskæringsform og standardform. Du kan skrive standardformularen på en af to ækvivalente måder. Den første er:
Ax + By + C = 0
hvor A, B og C er konstanter. Den anden måde er:
Ax + By = C
Bemærk, at dette er generaliserede udtryk, og konstanterne i det andet udtryk er ikke nødvendigvis de samme som dem i det første. Hvis du vil konvertere det første udtryk til det andet for bestemte værdier A, B og C, bliver du nødt til at skrive
Ax + By = -C
Udledning af standardformularen til en lineær ligning
En lineær ligning definerer en linje på x-y-aksen. Valg af to punkter på linjen, (x1, y1) og (x2, y2), giver dig mulighed for at beregne hældningen på linjen (m). Per definition er det "stigningen over løbet" eller ændringen i y-koordinaten divideret med ændringen i x-koordinaten.
m = \ frac {∆y} {∆x} = \ frac {y_2 - y_1} {x_2 - x_1}
Lad os nu (x1, y1) være et bestemt punkt (-en, b) og lad (x2, y2) være udefineret, det vil sige alle værdier afxogy. Udtrykket for hældning bliver
m = \ frac {y - b} {x - a}
hvilket forenkler til
m (x - a) = y - b
Dette er linjens hældningspunktsform. Hvis i stedet for (-en, b) vælger du punktet (0,b), bliver denne ligningmx = y − b. Omarrangere for at sætteyi sig selv på venstre side giver dig hældningsafskæringsformen af linjen:
y = mx + b
Hældningen er normalt et brøktal, så lad det være lig med -EN/B. Du kan derefter konvertere dette udtryk til standardformularen for en linje ved at flyttexsigt og konstant til venstre og forenkling:
Ax + By = C
hvorC = Bbeller
Ax + By + C = 0
hvorC = −Bb
Eksempel 1
Konverter til standardformular:
y = \ frac {3} {4} x + 2
4y = 3x + 2
4y - 3x = 2
3x - 4y = 2
Denne ligning er i standardform.EN = 3, B= −2 ogC = 2
Eksempel 2
Find standardformularligningen for den linje, der passerer gennem punkterne (-3, -2) og (1, 4).
\ begin {align} m & = \ frac {y_2 - y_1} {x_2 - x_1} \\ & = \ frac {1 - (-3)} {4 - 2} \\ & = \ frac {4} {2 } \\ & = 2 \ slut {justeret}
Den generiske hældningspunktsform er
m (x - a) = y - b
Hvis du bruger punktet (1, 4), bliver dette
2 (x - 1) = y - 4
2x - 2 - y + 4 = 0 \\ 2x - y + 2 = 0
Denne ligning er i standardformØkse + Ved + C= 0 hvorEN = 2, B= −1 ogC = 2