Sådan finder du en eksponentiel ligning med to punkter

Hvis du kender to punkter, der falder på en bestemt eksponentiel kurve, kan du definere kurven ved at løse den generelle eksponentielle funktion ved hjælp af disse punkter. I praksis betyder dette at erstatte punkterne med y og x i ligningen y = ab^x. Fremgangsmåden er lettere, hvis x-værdien for et af punkterne er 0, hvilket betyder, at punktet er på y-aksen. Hvis ingen af ​​punkterne har en nul x-værdi, er processen til løsning af x og y en smule mere kompliceret.

Mange vigtige systemer følger eksponentielle mønstre for vækst og forfald. For eksempel stiger antallet af bakterier i en koloni normalt eksponentielt, og den omgivende stråling i atmosfæren efter en nuklear begivenhed falder normalt eksponentielt. Ved at tage data og tegne en kurve er forskere i en bedre position til at forudsige.

Ethvert punkt på en todimensionel graf kan repræsenteres af to tal, som normalt er skrevet i in formen (x, y), hvor x definerer den vandrette afstand fra oprindelsen og y repræsenterer den lodrette afstand. For eksempel er punktet (2, 3) to enheder til højre for y-aksen og tre enheder over x-aksen. På den anden side er punktet (-2, -3) to enheder til venstre for y-aksen. og tre enheder under x-aksen.

Hvis du har to point, (x₁, y₁) og (x₂, y₂), kan du definere den eksponentielle funktion, der passerer gennem disse punkter ved at erstatte dem i ligningen y = ab^x og løsning af a og b. Generelt skal du løse dette par ligninger:

y₁ = ab^x1 og y₂ = ab^x2, .

I denne form ser matematikken lidt kompliceret ud, men den ser mindre ud, når du har lavet et par eksempler.

Hvis en af ​​x-værdierne - sig x₁ - er 0, operationen bliver meget enkel. For eksempel giver løsning af ligningen for punkterne (0, 2) og (2, 4):

2 = ab⁰ og 4 = ab². Da vi ved, at b⁰ = 1, den første ligning bliver 2 = a. Udskiftning af a i den anden ligning giver 4 = 2b², som vi forenkler til b² = 2 eller b = kvadratroden på 2, hvilket svarer til cirka 1,41. Den definerende funktion er derefter y = 2 (1,41)^x.

Hvis hverken x-værdien er nul, er løsningen af ​​ligningsparet lidt mere besværligt. Henochmath fører os gennem et let eksempel for at afklare denne procedure. I sit eksempel valgte han parpoint (2, 3) og (4, 27). Dette giver følgende par ligninger:

27 = ab⁴

3 = ab²

Hvis du deler den første ligning med den anden, får du

9 = b²

så b = 3. Det er muligt for b at være lig med -3, men i dette tilfælde antager det, at det er positivt.

Du kan erstatte denne værdi for b i begge ligninger for at få en. Det er lettere at bruge den anden ligning, så:

3 = a (3)² som kan forenkles til 3 = a9, a = 3/9 eller 1/3.

Ligningen, der passerer gennem disse punkter, kan skrives som y = 1/3 (3)^x.

Siden 1910 har den menneskelige befolkningsvækst været eksponentiel, og ved at planlægge en vækstkurve er forskere i en bedre position til at forudsige og planlægge for fremtiden. I 1910 var verdensbefolkningen 1,75 mia., Og i 2010 var den 6,87 mia. Idet man tager 1910 som udgangspunkt, giver dette parparet (0, 1,75) og (100, 6,87). Fordi x-værdien af ​​det første punkt er nul, kan vi let finde en.

1,75 = ab⁰ eller a = 1,75. Tilslutning af denne værdi sammen med værdierne fra det andet punkt til den generelle eksponentielle ligning giver 6,87 = 1,75b¹⁰⁰, som angiver værdien af ​​b som den hundrede rod på 6,87 / 1,75 eller 3,93. Så ligningen bliver y = 1,75 (hundrededel af 3,93)^x. Selvom det kræver mere end en glideregel for at gøre det, kan forskere bruge denne ligning til at projicere fremtidige befolkningstal for at hjælpe politikere i nutiden med at skabe passende politikker.