Når du først begynder at lære om funktioner, skal du muligvis overveje dem som en maskine: Du indtaster en værdi,x, ind i funktionen, og når den er behandlet gennem maskinen, en anden værdi - lad os kalde deny- springer ud i den fjerne ende. Rækken af muligexindgange, der kan komme gennem maskinen for at returnere et gyldigt output kaldes funktionens domæne. Så hvis du bliver bedt om at finde domænet for en funktion, skal du virkelig finde ud af, hvilke mulige input der vil returnere et gyldigt output.
Strategien til at finde domæne
Hvis du bare lærer om funktioner og domæner, antages det normalt, at en funktions domæne er "alle reelle tal." Så når du når du definerer domænet, er det ofte nemmest at bruge din viden om matematik - især algebra - til at bestemme hvilken numreikke ergyldige medlemmer af domænet. Så når du ser instruktionerne "find domænet", er det ofte nemmest at læse dem i dit hoved som "find og fjern alle tal, derkan ikkevære i domænet. "
I de fleste tilfælde koger dette ned til at kontrollere (og eliminere) potentielle input, der ville få brøker til at blive udefinerede, eller har 0 i deres nævner, og leder efter potentielle input, der giver dig negative tal under en kvadratrod skilt.
Et eksempel på at finde domæne
Overvej funktionen
f (x) = \ frac {3} {x - 2}
hvilket virkelig betyder, at ethvert nummer, du indtaster, bliver plukket ned i stedet forxpå højre side af ligningen. For eksempel, hvis du har beregnetf(4) du ville have
f (4) = \ frac {3} {4 - 2}
der fungerer til 3/2.
Men hvad nu hvis du beregnedef(2) eller med andre ord input 2 i stedet forx? Så ville du have
f (2) = \ frac {3} {2 - 2}
hvilket forenkles til 3/0, som er en udefineret brøkdel.
Dette illustrerer en af to almindelige forekomster, der kan ekskludere et tal fra en funktions domæne. Hvis der er en brøk involveret, og input vil medføre, at nævneren af den brøkdel er nul, skal input være ekskluderet fra funktionens domæne.
En lille undersøgelse vil vise dig, at absolut ethvert nummerundtagen2 returnerer et gyldigt (hvis undertiden rodet) resultat for den pågældende funktion, så domænet for denne funktion er alle tal undtagen 2.
Et andet eksempel på at finde domæne
Der er en anden almindelig forekomst, der udelukker mulige medlemmer af en funktions domæne: At have en negativ størrelse under et kvadratroden eller et hvilket som helst radikal med et lige indeks. Overvej eksempelfunktionen
f (x) = \ sqrt {5 - x}
Hvisx≤ 5, så vil mængden under radikaltegnet enten være 0 eller positiv, og returnere et gyldigt resultat. For eksempel hvisx= 4,5 du ville have
f (4.5) = \ sqrt {5 - 4.5} = \ sqrt {0.5}
som, selvom det er rodet, stadig returnerer et gyldigt resultat. Og hvisx= −10 du ville have
f (-10) = \ sqrt {5 - (-10)} = \ sqrt {5 + 10} = \ sqrt {15}
som igen returnerer et gyldigt, hvis rodet resultat.
Men forestil dig detx= 5.1. I det øjeblik du tænder over skillelinjen mellem 5 og et hvilket som helst antal større end det, ender du med et negativt tal under radikalen:
f (5.1) = \ sqrt {5 - 5.1} = \ sqrt {-0.1}
Meget senere i din matematikkarriere lærer du at give mening om negative kvadratrødder ved hjælp af et koncept kaldet imaginære tal eller komplekse tal. Men for nu udelukker det at have et negativt tal under det radikale tegn, at input som et gyldigt medlem af funktionens domæne.
Så i dette tilfælde, fordi ethvert talx≤ 5 returnerer et gyldigt resultat for denne funktion og ethvert talx> 5 returnerer et ugyldigt resultat, funktionens domæne er alle talx ≤ 5.