I matematik opstår behovet undertiden for at bevise, om funktioner er afhængige eller uafhængige af hinanden i en lineær forstand. Hvis du har to funktioner, der er lineære afhængige, resulterer grafning af ligningerne for disse funktioner i punkter, der overlapper hinanden. Funktioner med uafhængige ligninger overlapper ikke, når de er tegnet. En metode til at bestemme, om funktioner er afhængige eller uafhængige, er at beregne Wronskian for funktionerne.
Hvad er en Wronskian?
Wronskian af to eller flere funktioner er det, der er kendt som en determinant, hvilket er en speciel funktion, der bruges til at sammenligne matematiske objekter og bevise visse fakta om dem. I tilfælde af Wronskian anvendes determinanten til at bevise afhængighed eller uafhængighed mellem to eller flere lineære funktioner.
Den Wronskian Matrix
For at beregne Wronskian for lineære funktioner skal funktionerne løses for den samme værdi inden for en matrix, der indeholder både funktionerne og deres derivater. Et eksempel på dette er
W (f, g) (t) = \ begin {vmatrix} f (t) & g (t) \\ f '(t) & g' (t) \ end {vmatrix}
som giver Wronskian to funktioner (fogg) der løses for en enkelt værdi, der er større end nul (t); du kan se de to funktionerf(t) ogg(t) i den øverste række af matrixen og derivaternef'(t) ogg'(t) i nederste række. Bemærk, at Wronskian også kan bruges til større sæt. Hvis du for eksempel tester tre funktioner med en Wronskian, kan du udfylde en matrix med funktionerne og derivaterne aff(t), g(t) ogh(t).
Løsning af Wronskian
Når du har funktionerne arrangeret i en matrix, kryds-gang hver funktion mod afledningen af den anden funktion og træk den første værdi fra den anden. For eksemplet ovenfor giver dette dig
W (f, g) (t) = f (t) g '(t) - g (t) f' (t)
Hvis det endelige svar er lig med nul, viser dette, at de to funktioner er afhængige. Hvis svaret er noget andet end nul, er funktionerne uafhængige.
Wronskian-eksempel
For at give dig en bedre idé om, hvordan dette fungerer, skal du antage det
f (t) = x + 3 \ text {og} g (t) = x - 2
Brug af en værdi påt= 1, du kan løse funktionerne som
f (1) = 4 \ tekst {og} g (1) = -1
Da disse er basale lineære funktioner med en hældning på 1, er derivaterne af beggef(t) ogg(t) lig 1. Krydsmultiplikation af dine værdier giver
W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1)
som giver et slutresultat på 5. Selvom de lineære funktioner begge har samme hældning, er de uafhængige, fordi deres punkter ikke overlapper hinanden. Hvisf(t) havde produceret et resultat af -1 i stedet for 4, ville Wronskian i stedet have givet et resultat på nul for at indikere afhængighed.