Ligningen af et plan i et tredimensionelt rum kan skrives i algebraisk notation som ax + ved + cz = d, hvor mindst en af reelle talskonstanter "a," "b" og "c" må ikke være nul, og "x", "y" og "z" repræsenterer akserne i den tredimensionelle fly. Hvis der gives tre point, kan du bestemme planet ved hjælp af vektorkorsprodukter. En vektor er en linje i rummet. Et krydsprodukt er multiplikationen af to vektorer.
Få de tre punkter på flyet. Mærk dem "A", "B" og "C." Antag for eksempel, at disse punkter er A = (3, 1, 1); B = (1, 4, 2); og C = (1, 3, 4).
Find to forskellige vektorer på flyet. I eksemplet skal du vælge vektorer AB og AC. Vector AB går fra punkt A til punkt B, og vektor AC går fra punkt A til punkt C. Så træk hver koordinat i punkt-A fra hver koordinat i punkt-B for at få vektor AB: (-2, 3, 1). På samme måde er vektor AC punkt-C minus punkt-A eller (-2, 2, 3).
Beregn tværproduktet af de to vektorer for at få en ny vektor, som er normal (eller vinkelret eller ortogonal) til hver af de to vektorer og også til planet. Tværproduktet af to vektorer (a1, a2, a3) og (b1, b2, b3) er givet ved N = i (a2b3 - a3b2) + j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1). I eksemplet er krydsproduktet, N, af AB og AC i [(3 x 3) - (1 x 2)] + j [(1 x -2) - (-2 x 3)] + k [( -2 x 2) - (3x - 2)], hvilket forenkles til N = 7i + 4j + 2k. Bemærk, at "i", "j" og "k" bruges til at repræsentere vektorkoordinater.
Udled ligningen af flyet. Ligningen af planet er Ni (x - a1) + Nj (y - a2) + Nk (z - a3) = 0, hvor (a1, a2, a3) er et hvilket som helst punkt i planet og (Ni, Nj, Nk ) er den normale vektor, N. I eksemplet er ligningen af planet ved hjælp af punkt C, som er (1, 3, 4), 7 (x - 1) + 4 (y - 3) + 2 (z - 4) = 0, hvilket forenkler til 7x - 7 + 4y - 12 + 2z - 8 = 0 eller 7x + 4y + 2z = 27.
Bekræft dit svar. Udskift de originale punkter for at se, om de opfylder ligningen af planet. For at afslutte eksemplet, hvis du erstatter et af de tre punkter, vil du se, at ligningen af planet virkelig er opfyldt.
Tips
Se ressourcer for tip til, hvordan man bruger systemer med tre samtidige ligninger til at finde ligningen af et plan.