I matematik er en funktion en regel, der relaterer hvert element i et sæt, kaldet domænet, til nøjagtigt et element i et andet sæt, kaldet området. På enx-yakse, er domænet repræsenteret påx-akse (vandret akse) og domænet påy-aks (lodret akse). En regel, der relaterer et element i domænet til mere end et element i området, er ikke en funktion. Dette krav betyder, at hvis du tegner en graf, kan du ikke finde en lodret linje, der krydser grafen mere end et sted.
TL; DR (for lang; Har ikke læst)
En relation er kun en funktion, hvis den relaterer hvert element i dets domæne til kun et element i området. Når du tegner en funktion for en graf, skærer en lodret linje den kun på et punkt.
Matematisk repræsentation
Matematikere repræsenterer normalt funktioner med bogstaverne "f(x), "selvom andre breve fungerer lige så godt. Du læste bogstaverne som "fafx. "Hvis du vælger at repræsentere funktionen somg(y), ville du læse det som "gafy. "Ligningen for funktionen definerer den regel, hvormed inputværdien
xomdannes til et andet nummer. Der er et uendeligt antal måder at gøre dette på. Her er tre eksempler:f (x) = 2x \\ \, \\ g (y) = y ^ 2 + 2y + 1 \\ \, \\ p (m) = \ frac {1} {\ sqrt {m - 3}}
Bestemmelse af domænet
Sættet med tal, som funktionen "fungerer" for, er domænet. Dette kan være alle tal, eller det kan være et specifikt sæt tal. Domænet kan også være alle tal undtagen et eller to, som funktionen ikke fungerer for. For eksempel domænet for funktionen
f (x) = \ frac {1} {2-x}
er alle tal undtagen 2, for når du indtaster to, er nævneren 0, og resultatet er udefineret. Domænet for
\ frac {1} {4 - x ^ 2}
på den anden side er alle tal undtagen +2 og −2, fordi firkanten af begge disse tal er 4.
Du kan også identificere domænet for en funktion ved at se på dens graf. Begynd yderst til venstre og bevæg dig til højre, og træk lodrette linjer gennemx-akse. Domænet er alle værdierne forxsom linjen skærer grafen for.
Hvornår er en relation ikke en funktion?
Per definition relaterer en funktion hvert element i domænet til kun et element i området. Dette betyder, at hver lodret linje, du tegner gennemx-aks kan kun skære funktionen på et punkt. Dette fungerer for alle lineære ligninger og ligninger med højere effekt, hvor kun x-udtrykket hæves til en eksponent. Det fungerer ikke altid for ligninger, hvor beggexogyvilkår hæves til en magt. For eksempel,x2 + y2 = -en2 definerer en cirkel. En lodret linje kan krydse en cirkel ved mere end et punkt, så denne ligning er ikke en funktion.
Generelt et forholdf(x) = yer kun en funktion, hvis for hver værdi afxat du tilslutter det, får du kun en værdi fory. Undertiden er den eneste måde at fortælle, om et givet forhold er en funktion eller ej, er at prøve forskellige værdier for x for at se, om de giver unikke værdier fory.
Eksempler:Definerer følgende ligninger funktioner?
y = 2x +1
Dette er ligningen af en lige linje med hældning 2 ogy-intercept 1, så detERen funktion.
y ^ 2 = x + 1
Ladex= 3. Værdien for y kan så være ± 2, så detteER IKKEen funktion.
y ^ 3 = x ^ 2
Uanset hvilken værdi vi sætter forx, vi får kun en værdi fory, så detteERen funktion.
y ^ 2 = x ^ 2
Fordiy = ±√x2, det herER IKKEen funktion.