At lære at håndtere eksponenter udgør en integreret del af enhver matematikuddannelse, men heldigvis matcher reglerne for at multiplicere og dele dem reglerne for ikke-fraktionerede eksponenter. Det første skridt til at forstå, hvordan man håndterer fraktionerede eksponenter, er at få en oversigt over, hvad de præcist er, og så kan du se på de måder, du kan kombinere eksponenter på, når de multipliceres eller deles, og de har det samme grundlag. Kort fortalt tilføjer du eksponenterne, når du multiplicerer og trækker den ene fra den anden, når du deler dem, forudsat at de har den samme base.
TL; DR (for lang; Har ikke læst)
Multiplicer termer med eksponenter ved hjælp af den generelle regel:
x-en + xb = x(-en + b)
Og del termer med eksponenter ved hjælp af reglen:
x-en ÷ xb = x(-en – b)
Disse regler fungerer med ethvert udtryk i stedet for-enogb, endda fraktioner.
Hvad er fraktionerede eksponenter?
Fraktionerede eksponenter giver en kompakt og nyttig måde at udtrykke kvadrat, terning og højere rødder på. Nævneren på eksponenten fortæller dig, hvilken rod af "base" -nummeret udtrykket repræsenterer. I et udtryk som
x ^ {1/2} = \ sqrt {x}
Nævneren af to på eksponenten fortæller dig, at du tager kvadratroden afxi dette udtryk. Den samme grundregel gælder for højere rødder:
x ^ {1/3} = \ sqrt [3] {x}
Og
x ^ {1/4} = \ sqrt [4] {x}
Dette mønster fortsætter. For et konkret eksempel:
9 ^ {1/2} = \ sqrt {9} = 3
Og
8 ^ {1/3} = \ sqrt [3] {8} = 2
Fraktionsexponentregler: Multiplicering af fraktionerede eksponenter med samme base
Multiplicer termer med fraktionerede eksponenter (forudsat at de har den samme base) ved at tilføje eksponenterne sammen. For eksempel:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3 + 1/3)} \\ = x ^ 1 = x
Sidenx1/3 betyder ”terningen afx, ”Det giver fuld mening, at dette ganget med sig selv to gange giver resultatetx. Du kan også støde på eksempler som f.eksx1/3 × x1/3, men du håndterer disse på nøjagtig samme måde:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3)} \\ = x ^ {2/3}
Det faktum, at udtrykket i slutningen stadig er en fraktioneret eksponent, gør ikke en forskel for processen. Dette kan forenkles, hvis du bemærker detx2/3 = (x1/3)2 = ∛x2. Med et udtryk som dette betyder det ikke noget, om du tager rod eller magt først. Dette eksempel illustrerer, hvordan man beregner disse:
8 ^ {1/3} + 8 ^ {1/3} = 8 ^ {2/3} \\ = (\ sqrt [3] {8}) ^ 2
Da terningsroden på 8 er let at træne, skal du tackle dette som følger:
(\ sqrt [3] {8}) ^ 2 = 2 ^ 2 = 4
Så det betyder:
8^{1/3} + 8^{1/3}= 4
Du kan også støde på produkter fra fraktionerede eksponenter med forskellige tal i nævnerne for fraktionerne, og du kan tilføje disse eksponenter på samme måde som du vil tilføje andre fraktioner. For eksempel:
\ begin {justeret} x ^ {1/4} × x ^ {1/2} & = x ^ {(1/4 + 1/2)} \\ & = x ^ {(1/4 + 2/4 )} \\ & = x ^ {3/4} \ end {justeret}
Dette er alle specifikke udtryk for den generelle regel for multiplikation af to udtryk med eksponenter:
x ^ a + x ^ b = x ^ {(a + b)}
Fraktionsexponentregler: Opdeling af fraktionerede eksponenter med samme base
Håndter opdelinger af to tal med fraktionerede eksponenter ved at trække den eksponent, du deler (deleren), med den, du deler (udbyttet). For eksempel:
x ^ {1/2} ÷ x ^ {1/2} = x ^ {(1/2 - 1/2)} \\ = x ^ 0 = 1
Dette giver mening, fordi ethvert tal divideret med sig selv er lig med et, og dette stemmer overens med standardresultatet, at ethvert tal, der hæves til en effekt på 0, er lig med et. Det næste eksempel bruger tal som baser og forskellige eksponenter:
\ begin {justeret} 16 ^ {1/2} ÷ 16 ^ {1/4} & = 16 ^ {(1/2 - 1/4)} \\ & = 16 ^ {(2/4 - 1/4 )} \\ & = 16 ^ {1/4} \\ & = 2 \ ende {justeret}
Som du også kan se, hvis du bemærker, at 161/2 = 4 og 161/4 = 2.
Som med multiplikation kan du også ende med brøkdelte eksponenter, der har et andet tal end en i tælleren, men du håndterer disse på samme måde.
Disse udtrykker simpelthen den generelle regel for opdeling af eksponenter:
x ^ a ÷ x ^ b = x ^ {(a - b)}
Multiplikation og opdeling af fraktionerede eksponenter i forskellige baser
Hvis grundlaget for vilkårene er forskellige, er der ingen nem måde at formere eller dele eksponenter på. I disse tilfælde skal du blot beregne værdien af de enkelte vilkår og derefter udføre den nødvendige handling. Den eneste undtagelse er, hvis eksponenten er den samme, i hvilket tilfælde du kan multiplicere eller dele dem som følger:
x ^ 4 × y ^ 4 = (xy) ^ 4 \\ x ^ 4 ÷ y ^ 4 = (x ÷ y) ^ 4