Når du starter med tre ligninger og tre ukendte (variabler), tror du måske, at du har tilstrækkelig information til at løse for alle variablerne. Men når du løser et system med lineære ligninger ved hjælp af eliminationsmetoden, kan du finde ud af, at systemet er ikke tilstrækkeligt bestemt til at finde et unikt svar, og i stedet er der et uendeligt antal løsninger muligt. Dette sker, når informationen i en af ligningerne i systemet er overflødig med informationen i de andre ligninger.
Et 2x2 eksempel
3x + 2y = 5 6x + 4y = 10 Dette ligningssystem er klart overflødigt. Du kan oprette en ligning fra den anden ved blot at multiplicere med en konstant. Med andre ord formidler de de samme oplysninger. På trods af at der er to ligninger for de to ukendte, x og y, kan løsningen på dette system ikke indsnævres til en værdi for x og en værdi for y. (x, y) = (1,1) og (5 / 3,0) løser det begge, ligesom mange flere løsninger gør. Dette er den slags "problem", denne mangel på information, der også fører til et uendeligt antal løsninger i større ligningssystemer.
Et 3x3 eksempel
x + y + z = 10 x-y + z = 0 x _ + _ z = 5 [Understreger bruges kun til at opretholde afstand.] Ved eliminationsmetoden skal du fjerne x fra anden række ved at trække den anden række fra den første og give x + y + z = 10 _2y= 10 x_ +z = 5 Fjern x fra den tredje række ved at trække den tredje række fra den første. x + y + z = 10 _2y=10 y= 5 De to sidste ligninger er klart ækvivalente. y er lig med 5, og den første ligning kan forenkles ved at eliminere y. x + 5 + z = 10 y __ = 5 eller x + z = 5 y = 5 Bemærk, at eliminationsmetoden ikke giver en dejlig trekantet form her, som den gør, når der er en unik løsning. I stedet absorberes den sidste ligning (hvis ikke mere) i de andre ligninger. Systemet består nu af tre ukendte og kun to ligninger. Systemet kaldes "underbestemt", fordi der ikke er nok ligninger til at bestemme værdien af alle variablerne. Et uendeligt antal løsninger er mulige.
Sådan skriver du den uendelige løsning
Den uendelige løsning til ovenstående system kan skrives i form af en variabel. En måde at skrive det på er (x, y, z) = (x, 5,5-x). Da x kan få et uendeligt antal værdier, kan løsningen få et uendeligt antal værdier.