Tricks til faktorering af kvadratiske ligninger

Kvadratiske ligninger er formler, der kan skrives i formen Ax ^ 2 + Bx + C = 0. Nogle gange kan en kvadratisk ligning forenkles ved at faktorisere eller udtrykke ligningen som et produkt af separate udtryk. Dette kan gøre ligningen lettere at løse. Faktorer kan undertiden være svære at identificere, men der er tricks, der kan gøre processen lettere.

Undersøg den kvadratiske ligning for at bestemme, om der er et tal og / eller en variabel, der kan dele hvert udtryk i ligningen. Overvej f.eks. Ligningen 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0. Det største antal, der kan opdeles jævnt i hvert udtryk i ligningen, er 2, så 2 er den største fælles faktor (GCF).

Del hvert udtryk i ligningen med GCF, og multiplicer hele ligningen med GCF. I eksemplets ligning 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0 ville dette resultere i 2 ((2/2) x ^ 2 + (10/2) x + (8/2)) = 2 (0/2).

Forenkle udtrykket ved at udfylde delingen i hver periode. Der skal ikke være nogen brøk i den endelige ligning. I eksemplet ville dette resultere i 2 (x ^ 2 + 5x + 4) = 0.

Undersøg den kvadratiske ligning for at se, om den har form Ax ^ 2 + 0x - C = 0, hvor A = y ^ 2 og C = z ^ 2. Hvis dette er tilfældet, udtrykker den kvadratiske ligning forskellen på to firkanter. For eksempel i ligningen 4x ^ 2 + 0x - 9 = 0, A = 4 = 2 ^ 2 og C = 9 = 3 ^ 2, så y = 2 og z = 3.

Faktor ligningen i form (yx + z) (yx - z) = 0. I eksemplets ligning er y = 2 og z = 3; derfor er den indregnede kvadratiske ligning (2x + 3) (2x - 3) = 0. Dette vil altid være den fakturerede form for en kvadratisk ligning, der er forskellen i kvadrater.

Undersøg den kvadratiske ligning for at se, om den er en perfekt firkant. Hvis den kvadratiske ligning er en perfekt firkant, kan den skrives i formen y ^ 2 + 2yz + z ^ 2, såsom ligningen 4x ^ 2 + 12x + 9 = 0, som kan omskrives som (2x) ^ 2 + 2 (2x) (3) + (3) ^ 2. I dette tilfælde er y = 2x og z = 3.

Kontroller, om udtrykket 2yz er positivt. Hvis udtrykket er positivt, er faktorerne i den perfekte firkantede kvadratiske ligning altid (y + z) (y + z). For eksempel i ligningen ovenfor er 12x positiv, derfor er faktorerne (2x + 3) (2x + 3) = 0.

Kontroller, om udtrykket 2yz er negativt. Hvis udtrykket er negativt, er faktorerne altid (y - z) (y - z). For eksempel, hvis ligningen ovenfor havde udtrykket -12x i stedet for 12x, ville faktorerne være (2x - 3) (2x - 3) = 0.

Indstil den fakturerede form for den kvadratiske ligning ved at skrive (vx + w) (yx + z) = 0. Husk reglerne for FOIL-multiplikation (First, Outside, Inside, Last). Da den første sigt i den kvadratiske ligning er en Ax ^ 2, skal begge faktorer i ligningen omfatte en x.

Løs for v og y ved at overveje alle faktorerne i A i den kvadratiske ligning. Hvis A = 1, vil både v og y altid være 1. I eksemplet ligning x ^ 2 - 9x + 8 = 0, A = 1, så v og y kan løses i den fakturerede ligning for at få (1x + w) (1x + z) = 0.

Bestem, om w og z er positive eller negative. Følgende regler gælder: C = positiv og B = positiv; begge faktorer har et + tegn C = positiv og B = negativ; begge faktorer har a - tegn C = negativ og B = positiv; faktoren med den største værdi har et + tegn C = negativ og B = negativ; faktoren med den største værdi har et - tegn I eksempelligningen fra trin 2, B = -9 og C = +8, så begge faktorer i ligningen vil have - tegn, og den fakturerede ligning kan skrives som (1x - w) (1x - z) = 0.

Lav en liste over alle faktorerne i C for at finde værdierne for w og z. I eksemplet ovenfor er C = 8, så faktorerne er 1 og 8, 2 og 4, -1 og -8 og -2 og -4. Faktorerne skal tilføje op til B, som er -9 i eksemplets ligning, så w = -1 og z = -8 (eller omvendt), og vores ligning er fuldt beregnet som (1x - 1) (1x - 8) = 0.

Reducer ligningen til sin enkleste form ved hjælp af metoden Greatest Common Factor, der er anført ovenfor. For eksempel i ligningen 9x ^ 2 + 27x - 90 = 0 er GCF 9, så ligningen forenkles til 9 (x ^ 2 + 3x - 10).

Tegn en kasse og del den i en tabel med to rækker og to kolonner. Sæt Ax ^ 2 i den forenklede ligning i række 1, kolonne 1 og C i den forenklede ligning i række 2, kolonne 2.

Multiplicer A med C, og find alle produktets faktorer. I eksemplet ovenfor er A = 1 og C = -10, så produktet er (1) (- 10) = -10. Faktorerne -10 er -1 og 10, -2 og 5, 1 og -10 og 2 og -5.

Identificer, hvilken af ​​faktorerne i produktet AC tilføjer op til B. I eksemplet er B = 3. Faktorerne -10, der tilføjer op til 3, er -2 og 5.

Multiplicer hver af de identificerede faktorer med x. I eksemplet ovenfor vil dette resultere i -2x og 5x. Sæt disse to nye udtryk i de to tomme mellemrum på diagrammet, så tabellen ser sådan ud:

x ^ 2 | 5x

-2x | -10

Find GCF for hver række og kolonne i feltet. I eksemplet er CGF for den øverste række x, og for den nederste række er -2. GCF for den første kolonne er x, og for den anden kolonne er 5.

Skriv den fakturerede ligning i form (w + v) (y + z) ved hjælp af de faktorer, der er identificeret fra diagrammets rækker for w og v, og de faktorer, der er identificeret fra diagrammets kolonner for y og z. Hvis ligningen blev forenklet i trin 1, skal du huske at medtage ligningens GCF i det fakturerede udtryk. I tilfældet med eksemplet vil den fakturerede ligning være 9 (x - 2) (x + 5) = 0.

Sørg for, at ligningen er i standard kvadratisk form, inden du begynder på en af ​​de beskrevne metoder.

Det er ikke altid let at identificere en perfekt firkant eller forskel i firkanter. Hvis du hurtigt kan se, at den kvadratiske ligning, som du prøver at faktorere, er i en af ​​disse former, kan det være en stor hjælp. Brug dog ikke meget tid på at finde ud af dette, da de andre metoder kan være hurtigere.

Tjek altid dit arbejde ved at multiplicere faktorerne ved hjælp af FOIL-metoden. Faktorerne skal altid formere sig til den oprindelige kvadratiske ligning.