Absolutte værdiligninger kan være lidt skræmmende i starten, men hvis du holder på med det, løser du dem hurtigt let. Når du prøver at løse absolutte ligninger, hjælper det med at huske betydningen af absolut værdi.
Definition af absolut værdi
Detabsolut værdiaf et nummerx, skrevet |x|, er dens afstand fra nul på en talelinje. For eksempel er −3 3 enheder væk fra nul, så den absolutte værdi −3 er 3. Vi skriver det således: | −3 | = 3.
En anden måde at tænke over det er, atabsolut værdier den positive "version" af et tal. Så den absolutte værdi af -3 er 3, mens den absolutte værdi af 9, som allerede er positiv, er 9.
Algebraisk kan vi skrive enformel for absolut værdider ser sådan ud:
| x | = \ begin {cases} x & \ text {if} x≥ 0 \\ -x & \ text {if} x ≤ 0 \ end {cases}
Tag et eksempel hvorx= 3. Da 3 ≥ 0 er den absolutte værdi af 3 3 (i absolutværdinotation, det er: | 3 | = 3).
Hvad nu hvisx= −3? Det er mindre end nul, så | −3 | = - (−3). Det modsatte eller "negative" af −3 er 3, så | −3 | = 3.
Løsning af absolutte ligninger
Nu for nogle ligninger med absolut værdi. De generelle trin til løsning af en absolut ligning er:
Isoler det absolutte værdiudtryk.
Løs den positive "version" af ligningen.
Løs den negative "version" af ligningen ved at gange antallet på den anden side af ligetegnet med −1.
Se på nedenstående problem for et konkret eksempel på trinnene.
Eksempel: Løs ligningen forx:
| 3 + x | - 5 = 4
Du bliver nødt til at få | 3 +x| af sig selv på venstre side af ligetegnet. For at gøre dette skal du tilføje 5 til begge sider:
| 3 + x | - 5 + 5 = 4 + 5 \\ | 3 + x | = 9
Løs forxsom om det absolutte værditegn ikke var der!
| 3 + x | = 9 → 3 + x = 9
Det er let: Træk bare 3 fra begge sider.
3 + x -3 = 9 -3 \\ x = 6
Så en løsning på ligningen er, atx = 6.
Start igen kl | 3 +x| = 9. Algebraen i det forrige trin viste detxkunne være 6. Men da dette er en absolut værdiligning, er der en anden mulighed at overveje. I ovenstående ligning er den absolutte værdi af "noget" (3 +x) er lig med 9. Sikker på, den absolutte værdi af positiv 9 er lig med 9, men der er også en anden mulighed her! Den absolutte værdi af −9 er lig med 9. Så det ukendte "noget" kunne også svare til −9.
Med andre ord:
3 + x = -9
Den hurtige måde at nå frem til denne anden version er at multiplicere mængden på den anden side af svarer til det absolutte værdiudtryk (9, i dette tilfælde) med −1, og løs derefter ligningen fra der.
Så:
| 3 + x | = 9 → 3 + x = 9 × (-1) \\ 3 + x = -9
Træk 3 fra begge sider for at få:
3 + x -3 = -9 -3 \\ x = -12
Så de to løsninger er:x= 6 ellerx = −12.
Og der har du det! Disse slags ligninger tager øvelse, så rolig, hvis du først kæmper. Fortsæt med det, og det bliver lettere!