Få ting rammer frygt i begyndelsen algebra studerende som at se eksponenter - udtryk somy2, x3 eller endda den forfærdeligeyx- dukker op i ligninger. For at løse ligningen skal du på en eller anden måde få disse eksponenter til at forsvinde. Men i sandhed er denne proces ikke så vanskelig, når du først lærer en række enkle strategier, hvoraf de fleste er rodfæstet i de grundlæggende aritmetiske operationer, du har brugt i årevis.
Forenkle og kombinere lignende vilkår
Nogle gange, hvis du er heldig, har du muligvis eksponentbetingelser i en ligning, der annullerer hinanden. Overvej f.eks. Følgende ligning:
y + 2x ^ 2 - 5 = 2 (x ^ 2 + 2)
Med et skarpt øje og lidt øvelse kan du måske se, at de eksponente vilkår faktisk annullerer hinanden, således:
Når du har forenklet højre side af prøveligningen, vil du se, at du har identiske eksponentudtryk på begge sider af ligetegnet:
y + 2x ^ 2 - 5 = 2x ^ 2 + 4
Træk 2x2 fra begge sider af ligningen. Fordi du udførte den samme operation på begge sider af ligningen, har du ikke ændret dens værdi. Men du har effektivt fjernet eksponenten og efterladt dig med:
y - 5 = 4
Hvis det ønskes, kan du afslutte løsningen af ligningen foryved at tilføje 5 til begge sider af ligningen, hvilket giver dig:
y = 9
Ofte er problemer ikke så enkle, men det er stadig en mulighed, der er værd at se efter.
Se efter muligheder for at faktorere
Med tid, øvelse og masser af matematikundervisning samler du formler til faktorisering af bestemte typer polynomer. Det er meget som at samle værktøjer, som du opbevarer i en værktøjskasse, indtil du har brug for dem. Tricket er at lære at identificere, hvilke polynomer der let kan tages med i beregningen. Her er nogle af de mest almindelige formler, du kan bruge, med eksempler på, hvordan du anvender dem:
Hvis din ligning indeholder to kvadratiske tal med et minustegn imellem - f.eks.x2 − 42 - du kan faktorere dem ved hjælp af formlen-en2 − b2 = (a + b) (a - b). Hvis du anvender formlen på eksemplet, polynometx2 − 42 faktorer til (x + 4)(x − 4).
Tricket her er at lære at genkende kvadratiske tal, selvom de ikke er skrevet som eksponenter. For eksempel eksemplet påx2 − 42 er mere tilbøjelige til at blive skrevet somx2 − 16.
Hvis din ligning indeholder to kuberede tal, der tilføjes sammen, kan du faktorere dem ved hjælp af formlen
a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 - ab + b ^ 2)
Overvej eksemplet påy3 + 23, som du er mere tilbøjelige til at se skrevet somy3 + 8. Når du erstatteryog 2 i formlen for-enogbhenholdsvis har du:
(y + 2) (y ^ 2 - 2y + 2 ^ 2)
Eksponenten er åbenbart ikke helt væk, men nogle gange er denne type formel et nyttigt, mellemliggende skridt mod at slippe af med det. For eksempel kan fakturering således i tælleren af en brøk oprette vilkår, som du derefter kan annullere med vilkår fra nævneren.
Hvis din ligning indeholder to kuberede tal med entrukket frafra den anden kan du faktorere dem ved hjælp af en formel, der minder meget om den, der er vist i det foregående eksempel. Faktisk er minustegnets placering den eneste forskel mellem dem, da formlen for forskellen på terninger er:
a ^ 3 - b ^ 3 = (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2)
Overvej eksemplet påx3 − 53, som sandsynligvis ville blive skrevet somx3 − 125. Udskiftningxtil-enog 5 forb, du får:
(x - 5) (x ^ 2 + 5 x + 5 ^ 2)
Som før, selvom dette ikke eliminerer eksponenten helt, kan det være et nyttigt mellemliggende trin undervejs.
Isoler og anvend en radikal
Hvis ingen af ovenstående tricks fungerer, og du kun har et udtryk, der indeholder en eksponent, kan du bruge den mest almindelige metode til at "slippe af med af "eksponenten: Isoler eksponentudtrykket på den ene side af ligningen, og anvend derefter den passende radikal på begge sider af ligning. Overvej eksemplet på
z ^ 3 - 25 = 2
Isoler eksponentudtrykket ved at tilføje 25 til begge sider af ligningen. Dette giver dig:
z ^ 3 = 27
Indekset for den rod, du anvender - det vil sige det lille overskriftstal før det radikale tegn - skal være det samme som eksponenten, du prøver at fjerne. Så fordi eksponentudtrykket i eksemplet er en terning eller tredje effekt, skal du anvende en terningrod eller tredje rod for at fjerne den. Dette giver dig:
\ sqrt [3] {z ^ 3} = \ sqrt [3] {27}
Hvilket igen forenkler til:
z = 3