Typer af algebraligninger

Der er fem hovedtyper af algebraiske ligninger, der adskiller sig fra placeringen af ​​variabler, de anvendte typer af operatorer og funktioner og deres grafers opførsel. Hver ligningstype har forskellige forventede input og producerer en output med forskellig fortolkning. Forskellene og lighederne mellem de fem typer algebraiske ligninger og deres anvendelser viser mangfoldigheden og kraften ved algebraiske operationer.

Monomialer og polynomer er ligninger, der består af variable udtryk med hele antal eksponenter. Polynomier er klassificeret efter antallet af udtryk i udtrykket: Monomialer har et udtryk, binomier har to udtryk, trinomier har tre udtryk. Ethvert udtryk med mere end et udtryk kaldes et polynom. Polynomer klassificeres også efter grad, hvilket er antallet af den højeste eksponent i udtrykket. Polynomer med grader et, to og tre kaldes henholdsvis lineære, kvadratiske og kubiske polynomer. Ligningen x ^ 2 - x - 3 kaldes et kvadratisk trinom. Kvadratiske ligninger er almindeligt forekommende i algebra I og II; deres graf, kendt som en parabel, beskriver buen sporet af et projektil affyret i luften.

Eksponentielle ligninger skelnes fra polynomer, idet de har variable udtryk i eksponenterne. Et eksempel på en eksponentiel ligning er y = 3 ^ (x - 4) + 6. Eksponentielle funktioner klassificeres som eksponentiel vækst, hvis den uafhængige variabel har en positiv koefficient og eksponentielt henfald, hvis den har en negativ koefficient. Eksponentielle vækstligninger bruges til at beskrive spredning af populationer og sygdomme samt økonomiske begreber som f.eks sammensat rente (formlen for sammensat rente er Pe ^ (rt), hvor P er hovedstol, r er rentesatsen og t er beløbet af tid). Eksponentielle henfaldsligninger beskriver fænomener som radioaktivt henfald.

Logaritmiske funktioner er det omvendte af eksponentielle funktioner. For ligningen y = 2 ^ x er den inverse funktion y = log2 x. Logbasen b for et tal x er lig med den eksponent, som du skal hæve b for at få tallet x. For eksempel er log2 af 16 4, fordi 2 til 4. effekt er 16. Det transcendentale tal "e" anvendes mest som den logaritmiske base; logaritmebasen e kaldes ofte den naturlige logaritme. Logaritmiske ligninger bruges i mange typer intensitetsskalaer, såsom Richter-skalaen for jordskælv og decibelskalaen for lydintensitet. Decibelskalaen bruger en logbase 10, hvilket betyder en stigning på en decibel svarer til en tidobling af lydintensiteten.

Rationelle ligninger er algebraiske ligninger med formen p (x) / q (x), hvor p (x) og q (x) begge er polynomer. Et eksempel på en rationel ligning er (x - 4) / (x ^ 2 - 5x + 4). Rationelle ligninger er bemærkelsesværdige for at have asymptoter, som er værdier på y og x, som grafen for ligningen nærmer sig, men aldrig når. En lodret asymptote af en rationel ligning er en x-værdi, som grafen aldrig når - y-værdien går enten til positiv eller negativ uendelighed, når værdien af ​​x nærmer sig asymptoten. En vandret asymptote er en y-værdi, som grafen nærmer sig, når x går til positiv eller negativ uendelighed.

Trigonometriske ligninger indeholder de trigonometriske funktioner sin, cos, tan, sec, csc og cot. Trigonometriske funktioner beskriver forholdet mellem to sider af en højre trekant, idet vinkelmålet tages som input eller uafhængig variabel og forholdet som output eller afhængig variabel. For eksempel beskriver y = sin x forholdet mellem en højre trekants modsatte side og dens hypotenus for en målevinkel x. Trigonometriske funktioner er forskellige, idet de er periodiske, hvilket betyder, at grafen gentages efter en vis tid. Grafen for en standard sinusbølge har en periode på 360 grader.