Sådan faktoriseres polynomer med fraktioner

Den bedste måde at faktorere polynomer med fraktioner begynder med at reducere fraktionerne til enklere termer. Polynomier repræsenterer algebraiske udtryk med to eller flere udtryk, mere specifikt summen af ​​flere udtryk, der har forskellige udtryk for den samme variabel. Strategier, der hjælper med at forenkle polynomer, involverer udregning af den største fælles faktor efterfulgt af gruppering af ligningen i de laveste termer. Det samme gælder, selv når man løser polynomer med fraktioner.

Du har tre måder, hvorpå du kan se sætningen polynomer med fraktioner. Den første fortolkning vedrører polynomer med fraktioner for koefficienter. I algebra defineres koefficienten som antallet eller konstanten fundet før en variabel. Med andre ord, koefficienterne for 7_a_, b og (1/3)c er henholdsvis 7, 1 og (1/3). To eksempler på polynomer med fraktionskoefficienter vil derfor være:

Den anden fortolkning af "polynomer med fraktioner" henviser til polynomer, der findes i fraktion eller forhold form med en tæller og en nævner, hvor tællerpolynomet divideres med nævneren polynom. For eksempel er denne anden fortolkning illustreret ved:

Den tredje fortolkning vedrører i mellemtiden delvis fraktion nedbrydning, også kendt som delvis fraktion ekspansion. Undertiden er polynomiale fraktioner komplekse, så når de "nedbrydes" eller "nedbrydes" til enklere udtryk, de præsenteres som summer, forskelle, produkter eller kvoter af polynom fraktioner. For at illustrere den komplekse polynomfraktion af:

evalueres ved delvis fraktionsnedbrydning, som i øvrigt involverer factoring af polynomer, for at være i sin enkleste form:

Faktorer repræsenterer to tal, der, når de multipliceres sammen, svarer til et tredje tal. I algebraiske ligninger bestemmer factoring, hvilke to størrelser der blev ganget sammen for at nå frem til et givet polynom. Den distribuerende egenskab følges stærkt, når man multiplicerer polynomer. Den distribuerende ejendom tillader i det væsentlige en at multiplicere et beløb ved at multiplicere hvert nummer individuelt, før produkterne tilføjes. Overhold for eksempel, hvordan den distribuerende ejendom anvendes i eksemplet med:

Men hvis to binomaler multipliceres sammen, anvendes en udvidet version af den distribuerende ejendom via FOIL-metoden. FOIL repræsenterer akronymet for første, ydre, indre og sidste termer, der multipliceres. Derfor indebærer factoring af polynomer at udføre FOIL-metoden baglæns. Tag de to ovennævnte eksempler med polynomierne, der indeholder fraktionskoefficienter. At udføre FOIL-metoden bagud på hver af dem resulterer i faktorerne i

for det første polynom, og faktorerne for

til det andet polynom.

Eksempel:

Eksempel:

Ovenfra involverer polynomfraktioner et polynom i tælleren divideret med et polynom i nævneren. Evaluering af polynomfraktioner nødvendiggør således faktorisering af tællerpolynomet først efterfulgt af faktorisering af nævneren polynom. Det hjælper med at finde den største fælles faktor, eller GCF, mellem tælleren og nævneren. Når GCF for både tælleren og nævneren er fundet, annullerer den, hvilket i sidste ende reducerer hele ligningen i forenklede termer. Overvej det originale polynomfraktionseksempel ovenfor af

Faktorering af tæller- og nævnerpolynomer for at finde GCF-resultaterne i:

med GCF at være (x + 2).

GCF i både tælleren og nævneren annullerer hinanden for at give det endelige svar i de laveste termer af (x + 5) ÷ (x + 9).

Eksempel:

Delvis fraktionsnedbrydning, som involverer factoring, er en måde at omskrive komplekse polynomiske fraktionsligninger til enklere form. Gennemgang af eksemplet ovenfra af

Forenkle nævneren for at få:

Derefter omarrangere tælleren, så den begynder at have GCF'erne til stede i nævneren for at få:

For det venstre tilføjelse er GCF (x - 1), mens GCF er for det rigtige tilføjelse (x + 2), som annulleres i tælleren og nævneren, som det ses i:

Når GCF'erne annulleres, er det endelige forenklede svar således:

som opløsning af den delvise fraktionsnedbrydning.