En binomialfordeling beskriver en variabel x hvis 1) der er et fast nummer n observationer af variablen; 2) alle observationer er uafhængige af hinanden; 3) sandsynligheden for succes s er den samme for hver observation; og 4) hver observation repræsenterer et af nøjagtigt to mulige resultater (deraf ordet "binomial" - tænk "binært"). Denne sidste kvalifikation adskiller binomiale fordelinger fra Poisson-distributioner, som varierer kontinuerligt snarere end diskret.
En sådan fordeling kan skrives B(n, s).
Beregning af sandsynligheden for en given observation
Sig en værdi k ligger et sted langs grafen for binomialfordelingen, som er symmetrisk omkring middelværdien np. For at beregne sandsynligheden for, at en observation har denne værdi, skal denne ligning løses:
P (X = k) = (n: k) p ^ k (1-p) ^ {n-k}
hvor
(n: k) = \ frac {n!} {k! (n - k)!}
Det "!" betyder en faktorfunktion, fx 27! = 27 × 26 × 25 ×... × 3 × 2 × 1.
Eksempel
Sig, at en basketballspiller tager 24 gratis kast og har en etableret succesrate på 75 procent (
s = 0.75). Hvad er chancerne for, at hun rammer nøjagtigt 20 af hendes 24 skud?Beregn først (n: k) som følger:
\ frac {n!} {k! (n - k)!} = \ frac {24!} {(20!) (4!)} = 10.626 \\
pk = 0,75 ^ {20} = 0,00317
(1-p) ^ {n-k} = (0,25) ^ 4 = 0,00390
Dermed
P (20) = 10,626 × 0,00317 × 0,00390 = 0,1314
Denne spiller har derfor en 13,1 procent chance for at lave nøjagtigt 20 ud af 24 gratis kast, i tråd med hvad intuition kan foreslå en spiller, der normalt ville ramme 18 ud af 24 frikast (på grund af hendes etablerede succesrate på 75 procent).