En kvadratisk ligning er en, der indeholder en enkelt variabel, og hvor variablen er kvadratisk. Standardformularen for denne type ligning, som altid producerer en parabel, når den er tegnet, erøkse2 + bx + c= 0, hvor-en, bogcer konstanter. At finde løsninger er ikke så ligetil som for en lineær ligning, og en del af grunden er, at der på grund af det kvadratiske udtryk altid er to løsninger. Du kan bruge en af tre metoder til at løse en kvadratisk ligning. Du kan faktorere termerne, som fungerer bedst med enklere ligninger, eller du kan fuldføre firkanten. Den tredje metode er at bruge den kvadratiske formel, som er en generaliseret løsning til hver kvadratisk ligning.
Den kvadratiske formel
For en generel kvadratisk ligning af formularenøkse2 + bx + c= 0, opløsningerne er givet ved denne formel:
x = \ frac {−b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Bemærk, at ± tegnet inden i parenteserne betyder, at der altid er to løsninger. En af løsningerne bruger
\ frac {−b + \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
og den anden løsning bruger
\ frac {−b - \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Brug af den kvadratiske formel
Inden du kan bruge den kvadratiske formel, skal du sørge for at ligningen er i standardform. Det kan det ikke være. Noglex2 vilkår kan være på begge sider af ligningen, så du bliver nødt til at samle dem på højre side. Gør det samme med alle x termer og konstanter.
Eksempel: Find løsninger på ligningen
3x ^ 2 - 12 = 2x (x -1)
Udvid parenteserne:
3x ^ 2 - 12 = 2x ^ 2 - 2x
Træk 2x2 og fra begge sider. Tilføj 2xtil begge sider
3x ^ 2 - 2x ^ 2 + 2x - 12 = 2x ^ 2 -2x ^ 2 -2x + 2x \\ 3x ^ 2 - 2x ^ 2 + 2x - 12 = 0 \\ x ^ 2 - 2x -12 = 0
Denne ligning er i standardformøkse2 + bx + c= 0 hvor-en = 1, b= −2 ogc = 12
Den kvadratiske formel er
x = \ frac {−b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Siden-en = 1, b= −2 ogc= −12, dette bliver
x = \ frac {- (- 2) ± \ sqrt {(- 2) ^ 2 - 4 × 1 × (-12)}} {2 × 1}
x = \ frac {2 ± \ sqrt {(4+ 48}} {2} \\ \, \\ x = \ frac {2 ± \ sqrt {52}} {2} \\ \, \\ x = \ frac {2 ± 7,21} {2} \\ \, \\ x = \ frac {9.21} {2} \ text {og} x = \ frac {−5.21} {2} \\ \, \\ x = 4.605 \ text {og} x = −2.605
To andre måder at løse kvadratiske ligninger på
Du kan løse kvadratiske ligninger ved faktorisering. For at gøre dette gætter du mere eller mindre på et par tal, der, når de lægges sammen, giver konstantenbog når ganget sammen, giv konstantenc. Denne metode kan være vanskelig, når fraktioner er involveret. og fungerer ikke godt i ovenstående eksempel.
Den anden metode er at færdiggøre firkanten. Hvis du har en ligning er standardform,økse2 + bx + c= 0, sætcpå højre side og tilføj udtrykket (b/2)2 til begge sider. Dette giver dig mulighed for at udtrykke venstre side som (x + d)2, hvorder en konstant. Du kan derefter tage kvadratroden på begge sider og løse detx. Igen er ligningen i ovenstående eksempel lettere at løse ved hjælp af den kvadratiske formel.