Tips til løsning af kvadratiske ligninger

Hver algebra-studerende på højere niveauer skal lære at løse kvadratiske ligninger. Disse er en type polynomligning, der inkluderer en styrke på 2, men ingen højere, og de har den generelle form:økse​² + ​bx​ + ​c= 0. Du kan løse disse ved at bruge den kvadratiske ligningsformel ved at faktorisere eller ved at udfylde firkanten.

TL; DR (for lang; Har ikke læst)

Kig først efter en faktorisering for at løse ligningen. Hvis der ikke er en anden endbkoefficient er delelig med 2, fuldfør firkanten. Hvis ingen af ​​fremgangsmåderne er lette, skal du bruge den kvadratiske ligningsformel.

Faktorisering udnytter det faktum, at højre side af standardkvadratligningen er lig med nul. Dette betyder, at hvis du kan opdele ligningen i to udtryk i parentes ganget med hinanden, kan du finde ud af løsningerne ved at tænke over, hvad der ville gøre hver parentes lig med nul. For at give et konkret eksempel:

Sammenlign dette med standardformularen:

I eksemplet-en​ = 1, ​b= 6 ogc= 9. Udfordringen ved at faktorisere er at finde to tal, der tilføjes sammen for at give tallet ibplet og gang sammen for at få nummeret på stedet tilc​.

Så repræsenterer tallene meddoge, du leder efter tal, der tilfredsstiller:

Eller i dette tilfælde medb​ = 6:

Og

Eller i dette tilfælde medc​ = 9:

Fokuser på at finde tal, der er faktorer forc, og tilføj dem derefter sammen for at se, om de er ligeb. Når du har dine numre, skal du sætte dem i følgende format:

I ovenstående eksempel beggedogeer 3:

Hvis du multiplicerer parenteserne, ender du med det originale udtryk igen, og det er god praksis at kontrollere din faktorisering. Du kan løbe igennem denne proces (ved at multiplicere de første, indre, ydre og derefter sidste dele af parenteserne - se Ressourcer for flere detaljer) for at se det i omvendt retning:

Faktorisering løber effektivt igennem denne proces i omvendt retning, men det kan være udfordrende at regne ud rigtige måde at faktorere den kvadratiske ligning på, og denne metode er ikke ideel til enhver kvadratisk ligning til dette grund. Ofte skal du gætte på en faktorisering og derefter kontrollere det.

Problemet er nu at få et af udtrykkene i parentes til at være lig nul gennem dit valg af værdi forx. Hvis begge parenteser er lig med nul, er hele ligningen lig med nul, og du har fundet en løsning. Se på den sidste etape [(x​ + 3) (​x+ 3) = 0], og du vil se, at den eneste gang parenteser er nul, er hvisx= −3. I de fleste tilfælde har kvadratiske ligninger dog to løsninger.

Faktorisering er endnu mere udfordrende, hvis-ener ikke lig med en, men at fokusere på enkle sager er bedre i starten.

Fuldførelse af firkanten hjælper dig med at løse kvadratiske ligninger, der ikke let kan faktoriseres. Denne metode kan fungere for enhver kvadratisk ligning, men nogle ligninger passer det mere end andre. Tilgangen involverer at gøre udtrykket til et perfekt kvadrat og løse det. En generisk perfekt firkant udvides som denne:

For at løse en kvadratisk ligning ved at udfylde firkanten skal du få udtrykket i formen på højre side af ovenstående. Del først tallet ibplaceres med 2, og kvadrerer derefter resultatet. Så for ligningen:

Koefficientenb= 8, såb÷ 2 = 4 og (b​ ÷ 2)² = 16.

Tilføj dette til begge sider for at få:

Bemærk, at denne formular matcher den perfekte firkantede form medd= 4, så 2d= 8 ogd​² = 16. Det betyder at:

Indsæt dette i den foregående ligning for at få:

Løs nu ligningen forx. Tag kvadratroden på begge sider for at få:

Træk 4 fra begge sider for at få:

Roden kan være positiv eller negativ, og at tage den negative rod giver:

Find den anden løsning med den positive rod:

Derfor er den eneste løsning, der ikke er nul, −8. Kontroller dette med det originale udtryk for at bekræfte.

Den kvadratiske ligningsformel ser mere kompliceret ud end de andre metoder, men den er den mest pålidelige metode, og du kan bruge den i enhver kvadratisk ligning. Ligningen bruger symbolerne fra den standard kvadratiske ligning:

Og siger, at:

Indsæt de relevante tal på deres steder, og arbejd formlen, der skal løses, og husk at prøve at trække fra hinanden og tilføje kvadratroden og notere begge svar. For følgende eksempel:

Du har-en​ = 1, ​b= 6 ogc= 5. Så formlen giver:

At tage det positive tegn giver:

Og at tage det negative tegn giver:

Hvilke er de to løsninger til ligningen.

Se efter en faktorisering, før du prøver noget andet. Hvis du kan få øje på en, er dette den hurtigste og nemmeste måde at løse en kvadratisk ligning på. Husk, at du leder efter to tal, der svarer tilbkoefficient og gang for at giveckoefficient. Til denne ligning:

Du kan se, at 2 + 3 = 5 og 2 × 3 = 6, så:

Ogx= −2 ellerx​ = −3.

Hvis du ikke kan se en faktorisering, skal du kontrollere, ombkoefficient kan deles med 2 uden at anvende fraktioner. Hvis det er tilfældet, er det sandsynligvis den nemmeste måde at løse ligningen på at udfylde firkanten.

Hvis ingen af ​​fremgangsmåderne synes passende, skal du bruge formlen. Dette virker som den sværeste tilgang, men hvis du er i en eksamen eller på anden måde skubber til tid, kan det gøre processen meget mindre stressende og meget hurtigere.