Rotationskinetisk energi: definition, formler og enheder (med eksempler)

​Rotations kinetisk energibeskriver bevægelsesenergien som følge af et objekts rotation eller cirkulære bevægelse. Husk detlineær kinetisk energiaf en massembevæger sig med hastighedver givet ved 1 / 2mv². Dette er en ligetil beregning for ethvert objekt, der bevæger sig i en lige sti. Det gælder for objektets massecenter, så objektet kan tilnærmes som en punktmasse.

Hvis vi nu vil beskrive den kinetiske energi af et udvidet objekt, der gennemgår en mere kompleks bevægelse, bliver beregningen vanskeligere.

Vi kunne foretage successive tilnærmelser ved at opdele det udvidede objekt i små stykker, som hver kan tilnærmes som en punktmasse, og bereg derefter den lineære kinetiske energi for hver punktmasse separat, og tilføj dem alle sammen for at finde det samlede antal objekt. Jo mindre vi deler objektet op, jo bedre er tilnærmelsen. I grænsen, hvor stykkerne bliver uendelige, kan dette gøres med calculus.

Men vi har held og lykke! Når det kommer til rotationsbevægelse, er der en forenkling. For et roterende objekt, hvis vi beskriver dets massefordeling omkring rotationsaksen i form af dets inertimoment,

​Inertimomenter et mål for, hvor vanskeligt det er at få et objekt til at ændre sin rotationsbevægelse omkring en bestemt akse. Trægemomentet for et roterende objekt afhænger ikke kun af genstandens masse, men også af, hvordan massen fordeles omkring rotationsaksen. Jo længere væk fra aksen, hvor massen fordeles, jo sværere er det at ændre sin rotationsbevægelse, og dermed jo større inertimoment.

SI-enhederne for inertimoment er kgm² (hvilket er i overensstemmelse med vores forestilling om, at det afhænger af masse og afstanden fra rotationsaksen). Inertimomenterne for forskellige objekter kan findes i en tabel eller fra beregning.

• Inertimomentet for ethvert objekt kan findes ved hjælp af calculus og formlen for inertimomentet for en punktmasse.

Formlen for roterende kinetisk energi er givet ved:

Hvorjeger objektets inertimoment ogωer objektets vinkelhastighed i radianer pr. sekund (rad / s). SI-enheden for roterende kinetisk energi er joule (J).

Formen for den roterende kinetiske energiformel er analog med den translationelle kinetiske energiligning; inertimoment spiller rollen som masse, og vinkelhastighed erstatter lineær hastighed. Bemærk, at den roterende kinetiske energiligning giver det samme resultat for en punktmasse som den lineære ligning gør.

Hvis vi forestiller os en punktmassembevæger sig i en cirkel med radiusrmed hastighedv, så er dens vinkelhastighed ω = v / r, og dens inertimoment er mr². Begge kinetiske ligninger giver som forventet det samme resultat:

Hvis en genstand både roterer, og dens massecenter bevæger sig langs en lige sti (som f.eks. Med et rullende dæk), såtotal kinetisk energier summen af ​​den roterende kinetiske energi og de translationelle kinetiske energier:

Den roterende kinetiske energiformel har mange anvendelser. Det kan bruges til at beregne den enkle kinetiske energi af et spindende objekt, til at beregne den kinetiske energi af et rullende objekt (et objekt, der gennemgår både rotations- og translationel bevægelse) og at løse for andre ukendte. Overvej følgende tre eksempler:

​Eksempel 1:Jorden drejer omkring sin akse cirka en gang hver 24. time. Hvis vi antager, at den har en ensartet tæthed, hvad er dens kinetiske rotationsenergi? (Jordens radius er 6,37 × 10⁶ m, og dens masse er 5,97 × 10²⁴ kg.)

For at finde den roterende kinetiske energi skal vi først finde inertimomentet. Ved at tilnærme jorden som en fast sfære får vi:

Vinkelhastigheden er 2π radianer / dag. Konvertering af dette til rad / s giver:

Så den roterende kinetiske energi på jorden er da:

Sjov kendsgerning: Dette er mere end 10 gange den samlede energi solen lægger ud på et minut!

​Eksempel 2:En ensartet cylinder med en masse på 0,75 kg og en radius på 0,1 m ruller over gulvet med en konstant hastighed på 4 m / s. Hvad er dens kinetiske energi?

Den samlede kinetiske energi er givet ved:

I dette tilfælde er jeg = 1/2 mr² er inertimomentet for en solid cylinder, ogωer relateret til den lineære hastighed via ω = v / r.​

Forenkling af udtrykket for total kinetisk energi og tilslutning af værdier giver:

Bemærk, at vi ikke engang havde brug for at bruge radius! Det annullerede på grund af det direkte forhold mellem rotationshastighed og lineær hastighed.

​Eksempel 3:En studerende på en cykel kører ned ad en bakke fra hvile. Hvis bakkens lodrette højde er 30 m, hvor hurtig går eleven i bunden af ​​bakken? Antag, at cyklen vejer 8 kg, rytteren vejer 50 kg, hvert hjul vejer 2,2 kg (inkluderet i cykelvægten), og hvert hjul har en diameter på 0,7 m. Anslå hjulene som bøjler og antag, at friktionen er ubetydelig.

Her kan vi bruge mekanisk energibesparelse til at finde den endelige hastighed. Den potentielle energi på toppen af ​​bakken omdannes til kinetisk energi i bunden. Den kinetiske energi er summen af ​​den translationelle kinetiske energi for hele personen + cykelsystemet og de roterende kinetiske energier af dækkene.

Systemets samlede energi:

Formlen for total energi udtrykt i kinetiske energier i bunden af ​​bakken er:

Løser forvgiver:

Endelig får vi vores svar ved at tilslutte tal: