I algebra er sekvenser af tal værdifulde for at undersøge, hvad der sker, da noget bliver større eller mindre. En aritmetisk sekvens defineres af den fælles forskel, som er forskellen mellem et tal og det næste i sekvensen. For aritmetiske sekvenser er denne forskel en konstant værdi og kan være positiv eller negativ. Som et resultat bliver en aritmetisk sekvens ved med at blive større eller mindre med et fast beløb, hver gang et nyt nummer føjes til listen, der udgør sekvensen.
TL; DR (for lang; Har ikke læst)
En aritmetisk sekvens er en liste over tal, hvor fortløbende udtryk adskiller sig med en konstant mængde, den fælles forskel. Når den fælles forskel er positiv, øges sekvensen med et fast beløb, mens hvis den er negativ, falder sekvensen. Andre almindelige sekvenser er den geometriske sekvens, hvor termer adskiller sig med en fælles faktor, og Fibonacci-sekvensen, hvor hvert tal er summen af de to foregående tal.
Sådan fungerer en aritmetisk sekvens
En aritmetisk sekvens defineres af et startnummer, en fælles forskel og antallet af udtryk i sekvensen. For eksempel er en aritmetisk sekvens, der starter med 12, en fælles forskel på 3 og fem termer 12, 15, 18, 21, 24. Et eksempel på en faldende sekvens er en, der starter med tallet 3, en fælles forskel på -2 og seks udtryk. Denne sekvens er 3, 1, −1, −3, −5, −7.
Aritmetiske sekvenser kan også have et uendeligt antal udtryk. For eksempel vil den første sekvens ovenfor med et uendeligt antal udtryk være 12, 15, 18,... og denne sekvens fortsætter til uendelig.
Aritmetisk middelværdi
En aritmetisk sekvens har en tilsvarende serie, der tilføjer alle vilkårene i sekvensen. Når termerne tilføjes, og summen divideres med antallet af termer, er resultatet det aritmetiske gennemsnit eller gennemsnit. Formlen for det aritmetiske gennemsnit er
\ text {mean} = \ frac {\ text {sum of} n \ text {terms}} {n}
En hurtig måde at beregne gennemsnittet af en aritmetisk sekvens på er at bruge observationen, når den første og sidste vilkår tilføjes, summen er den samme som når den anden og den næstsidste vilkår tilføjes eller den tredje og tredje til sidste vilkår. Som et resultat er summen af sekvensen summen af de første og sidste ord gange halvdelen af antallet af udtryk. For at få gennemsnittet divideres summen med antallet af udtryk, så gennemsnittet af en aritmetisk sekvens er halvdelen af summen af de første og sidste termer. Tilnvilkår-en1 til-ennden tilsvarende formel for middelværdien m er
m = \ frac {a_1 + a_n} {2}
Uendelige aritmetiske sekvenser har ikke en sidste periode, og derfor er deres middel udefineret. I stedet kan et middel for en delvis sum findes ved at begrænse summen til et defineret antal udtryk. I så fald kan delsummen og dens gennemsnit findes på samme måde som for en ikke-uendelig sekvens.
Andre typer sekvenser
Sekvenser af tal er ofte baseret på observationer fra eksperimenter eller målinger af naturlige fænomener. Sådanne sekvenser kan være tilfældige tal, men ofte viser sekvenser at være aritmetiske eller andre ordnede lister over numre.
F.eks. Adskiller geometriske sekvenser sig fra aritmetiske sekvenser, fordi de har en fælles faktor snarere end en fælles forskel. I stedet for at få et tal tilføjet eller trukket for hvert nyt udtryk, multipliceres eller deles et tal hver gang der tilføjes et nyt udtryk. En sekvens, der er 10, 12, 14,... som en aritmetisk sekvens med en fælles forskel på 2 bliver 10, 20, 40,... som en geometrisk sekvens med en fælles faktor 2.
Andre sekvenser følger helt andre regler. F.eks. Dannes Fibonacci-sekvensbetegnelserne ved at tilføje de to foregående tal. Dens sekvens er 1, 1, 2, 3, 5, 8,... Vilkårene skal tilføjes individuelt for at få en delvis sum, fordi den hurtige metode til at tilføje de første og sidste termer ikke fungerer for denne sekvens.
Aritmetiske sekvenser er enkle, men de har applikationer i det virkelige liv. Hvis udgangspunktet er kendt, og den fælles forskel kan findes, kan værdien af serien på et bestemt tidspunkt i fremtiden beregnes, og gennemsnitsværdien kan også bestemmes.