Integrationsfunktioner er en af kerneapplikationerne i calculus. Nogle gange er dette ligetil, som i:
F (x) = \ int (x ^ 3 + 8) dx
I et forholdsvis kompliceret eksempel af denne type kan du bruge en version af den grundlæggende formel til integration af ubestemte integraler:
\ int (x ^ n + A) dx = \ frac {x ^ {(n + 1)}} {n + 1} + Ax + C
hvorENogCer konstanter.
Således for dette eksempel,
\ int x ^ 3 + 8 = \ frac {x ^ 4} {4} + 8x + C.
Integration af grundlæggende firkantede rodfunktioner
På overfladen er det akavet at integrere en kvadratrodfunktion. For eksempel kan du blive stymied af:
F (x) = \ int \ sqrt {(x ^ 3) + 2x - 7} dx
Men du kan udtrykke en kvadratrod som en eksponent, 1/2:
\ sqrt {x ^ 3} = x ^ {3 (1/2)} = x ^ {(3/2)}
Integralet bliver derfor:
\ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx
som du kan anvende den sædvanlige formel fra oven:
\ begin {justeret} \ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx & = \ frac {x ^ {(5/2)}} {5/2} + 2 \ bigg (\ frac {x ^ 2} {2} \ bigg) - 7x \\ & = \ frac {2} {5} x ^ {(5/2)} + x ^ 2 - 7x \ end {justeret}
Integration af mere komplekse firkantede rodfunktioner
Nogle gange kan du have mere end et udtryk under det radikale tegn, som i dette eksempel:
F (x) = \ int \ frac {x + 1} {\ sqrt {x - 3}} dx
Du kan brugeu-udskiftning for at fortsætte. Her er du klarulig med mængden i nævneren:
u = \ sqrt {x - 3}
Løs dette forxved at kvadre begge sider og trække:
u ^ 2 = x - 3 \\ x = u ^ 2 + 3
Dette giver dig mulighed for at få dx med hensyn tiluved at tage afledningen afx:
dx = (2u) du
Udskiftning tilbage til den oprindelige integral giver
\ begin {justeret} F (x) & = \ int \ frac {u ^ 2 + 3 + 1} {u} (2u) du \\ & = \ int \ frac {2u ^ 3 + 6u + 2u} {u } du \\ & = \ int (2u ^ 2 + 8) du \ end {justeret}
Nu kan du integrere dette ved hjælp af den grundlæggende formel og udtrykkeumed hensyn tilx:
\ begin {align} \ int (2u ^ 2 + 8) du & = \ frac {2} {3} u ^ 3 + 8u + C \\ & = \ frac {2} {3} (\ sqrt {x - 3}) ^ 3 + 8 (\ sqrt {x - 3}) + C \\ & = \ frac {2} {3} (x - 3) ^ {(3/2)} + 8 (x - 3) ^ {(1/2)} + C \ end {justeret}