I matematik er et gensidigt tal et tal, der, ganget med det originale tal, producerer 1. For eksempel er den gensidige for variablen x 1 /x, fordi
x × \ frac {1} {x} = \ frac {x} {x} = 1
I dette eksempel er 1 /xer den gensidige identitet afx, og omvendt. I trigonometri kan en af de ikke-90-graders vinkler i en ret trekant defineres ved forhold, der kaldes sinus, cosinus og tangens. Anvendelse af begrebet gensidige identiteter definerer matematikere yderligere tre forhold. Deres navne er cosecant, secant og cotangent. Cosecant er den gensidige identitet af sinus, secant den for cosinus og cotangent den for tangens.
Sådan bestemmes gensidige identiteter
Overvej en vinkelθ, som er en af de to ikke-90-graders vinkler i en ret trekant. Hvis længden af siden af trekanten overfor vinklen er "b, "længden af siden, der støder op til vinklen og modsat hypotenuserne, er"-en"og længden af hypotenusen er"r, "vi kan definere de tre primære trigonometriske forhold i forhold til disse længder.
\ text {sine} θ = \ sin θ = \ frac {b} {r} \\ \, \\ \ text {cosinus} θ = \ cos θ = \ frac {a} {r} \\ \, \\ \ text {tangent} θ = \ tan θ = \ frac {b} {a} \\
Syndens gensidige identitetθskal være lig med 1 / sin θ, da det er antallet, når det ganges med syndθ, producerer 1. Det samme gælder cosθog tanθ. Matematikere giver disse gensidige navne henholdsvis cosecant, secant og cotangent. Per definition:
\ text {cosecant} θ = \ csc θ = \ frac {1} {\ sin θ} \\ \, \\ \ text {secant} θ = \ sec θ = \ frac {1} {\ cos θ} \\ \, \\ \ text {cotangent} θ = \ cot θ = \ frac {1} {\ tan θ}
Du kan definere disse gensidige identiteter i form af længderne på siderne af den højre trekant som følger:
\ csc θ = \ frac {r} {b} \\ \, \\ \ sec θ = \ frac {r} {a} \\ \, \\ \ cot θ = \ frac {a} {b}
Følgende forhold gælder for enhver vinkelθ:
\ sin θ × \ csc θ = 1 \\ \ cos θ × \ sec θ = 1 \\ \ tan θ × \ cot θ = 1
To andre trigonometriske identiteter
Hvis du kender sinus og cosinus i en vinkel, kan du udlede tangenten. Dette er sandt, fordi
\ sin θ = \ frac {b} {r} \ tekst {og} \ cos θ = \ frac {a} {r} \ tekst {, så} \ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ frac {b} {r} × \ frac {r} {a} = \ frac {b} {a}
Da dette er definitionen af tan θ, følger følgende identitet, kendt som kvotientidentiteten,:
\ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ tan θ \\ \, \\ \ frac {\ cos θ} {\ sin θ} = \ barneseng θ
Den pythagoranske identitet følger af det faktum, at for enhver ret trekant med sider-enogbog hypotenuser, er følgende sandt:-en2 + b2 = r2. Omarrangere termer og definere forhold i forhold til sinus og cosinus kommer du til følgende udtryk:
\ sin ^ 2 θ + \ cos ^ 2 θ = 1
To andre vigtige forhold følger, når du indsætter gensidige identiteter for sinus og cosinus i ovenstående udtryk:
\ tan ^ 2 θ + 1 = \ sec ^ 2 θ \\ \ barneseng ^ 2 θ + 1 = \ csc ^ 2 θ