De fleste mennesker huskerPythagoras sætningfra begyndergeometri - det er en klassiker. Det er det
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2
hvor-en, bogcer siderne af en højre trekant (cer hypotenusen). Nå, denne sætning kan også omskrives til trigonometri!
TL; DR (for lang; Har ikke læst)
TL; DR (for lang; Har ikke læst)
Pythagoras identiteter er ligninger, der skriver Pythagoras sætning med hensyn til trig-funktionerne.
Det vigtigstePythagoras identiteterer:
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1 \\ 1 + \ tan ^ 2 (θ) = \ sec ^ 2 (θ) \\ 1 + \ barneseng ^ 2 (θ) = \ csc ^ 2 (θ)
Pythagoras identiteter er eksempler påtrigonometriske identiteter: ligninger (ligninger), der bruger trigonometriske funktioner.
Hvorfor betyder det noget?
Pythagoras identiteter kan være meget nyttige til at forenkle komplicerede trig-sætninger og ligninger. Husk dem nu, og du kan spare dig selv meget tid på vejen!
Bevis ved hjælp af definitionerne af trig-funktionerne
Disse identiteter er ret enkle at bevise, hvis du tænker på definitionerne af trig-funktionerne. Lad os for eksempel bevise det
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1
Husk, at definitionen af sinus er modsat side / hypotenuse, og at cosinus er tilstødende side / hypotenuse.
Så
\ sin ^ 2 = \ frac {\ text {modsat} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2}
Og
\ cos ^ 2 = \ frac {\ text {tilstødende} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2}
Du kan nemt tilføje disse to sammen, fordi nævnerne er de samme.
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = \ frac {\ tekst {modsat} ^ 2 + \ tekst {tilstødende} ^ 2} {\ tekst {hypotenuse} ^ 2}
Se nu endnu en gang på Pythagoras sætning. Det siger det-en2 + b2 = c2. Husk det-enogbstå for den modsatte og tilstødende side, ogcstår for hypotenusen.
Du kan omarrangere ligningen ved at dele begge sider medc2:
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \\ \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = 1
Siden-en2 ogb2 er de modsatte og tilstødende sider ogc2 er hypotenusen, har du en ækvivalent udsagn til den ovenfor, med (modsat2 + tilstødende2) / hypotenus2. Og takket være arbejdet med-en, b, cog Pythagoras sætning, kan du nu se denne erklæring er lig med 1!
Så
\ frac {\ text {modsat} ^ 2 + \ tekst {tilstødende} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2} = 1
og derfor:
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = 1
(Og det er bedre at skrive det ordentligt ud: synd2(θ) + cos2(θ) = 1).
De gensidige identiteter
Lad os bruge et par minutter på at se pågensidige identitetersåvel. Husk, atgensidiger en divideret med ("over") dit nummer - også kendt som det omvendte.
Da cosecant er den gensidige af sinus:
\ csc (θ) = \ frac {1} {\ sin (θ)}
Du kan også tænke på cosecant ved hjælp af definitionen på sinus. For eksempel sinus = modsat side / hypotenus. Det omvendte af det vil være den fraktion, der vendes på hovedet, hvilket er hypotenus / modsat side.
Tilsvarende er cosinus gensidige sekant, så det er defineret som
\ sec (θ) = \ frac {1} {\ cos (θ)} \ text {eller} \ frac {\ text {hypotenuse}} {\ text {tilstødende side}}
Og tangentens gensidige er cotangent, så
\ cot (θ) = \ frac {1} {\ tan (θ)} = \ frac {\ text {tilstødende side}} {\ text {modsat side}}
Beviserne for Pythagoras identiteter ved hjælp af secant og cosecant ligner meget dem for sinus og cosinus. Du kan også udlede ligningerne ved hjælp af "overordnet" ligningen, synd2(θ) + cos2(θ) = 1. Del begge sider med cos2(θ) for at få identiteten 1 + tan2(θ) = sek2(θ). Del begge sider ved synd2(θ) for at få identiteten 1 + barneseng2(θ) = csc2(θ).
Held og lykke og husk at huske de tre Pythagoras identiteter udenad!