Hvordan man fortæller, at et tal er rationelt

Et rationelt tal er, som navnet antyder, ethvert tal, der kan udtrykkes som et forhold eller en brøkdel. Tallet 6 er et rationelt tal, fordi det kan udtrykkes som 6/1, selvom dette ville være usædvanligt. 4.5 er et rationelt tal, da det kan repræsenteres som 9/2.

Mange vigtige tal i matematik er imidlertid irrationelle og kan ikke skrives som forhold. Disse inkluderer pi eller π, som er forholdet mellem en cirkels omkreds og dens diameter og er lig med 3,141592654...; og kvadratroden på 5, lig med 2.236067977... De bageste prikker angiver en uendelig række cifre, der ikke gentages, til højre for decimaltegnet.

Der findes en række metoder til at bestemme, om et tal er rationelt.

Ethvert tal, der kan skrives som en brøk eller et forhold, er et rationelt tal. Produktet af to rationelle tal er derfor et rationelt tal, fordi det også kan udtrykkes som en brøkdel. For eksempel er 5/7 og 13/120 begge rationelle tal, og deres produkt, 65/840, er også et rationelt tal. (65/140 reduceres til 13/28, men dette er ikke afgørende for nuværende formål.)

Dette er mindre trivielt, end det kan synes, fordi det er let at glemme, at hele tal (... −3, −2, −1, 0, 1, 2 og så videre) kan skrives som brøker med en nævner på 1, fx −3/1, −2/1 osv.

Det er vigtigt, at nogle tal, der indeholder en uendelig rækkefølge af tal til højre for et decimaltegn, er rationelle; nøglen er, at dette skal omfatte en gentagende sekvens. For eksempel

Det gentagne segment betegnes ofte med en søjle over den gentagne del:

De fleste tal, der udtrykkes som kvadratrødder, er irrationelle tal. Undtagelserne er såkaldte perfekte firkanter, som er firkanterne for hele tal (0² = 0, 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, e.t.c.).