I matematik og geometri er en af de færdigheder, der adskiller eksperterne fra de foregivne, viden om tricks og genveje. Den tid, du bruger på at lære dem, betaler sig i den sparede tid, når du løser problemer. For eksempel er det umagen værd at kende to specielle højre trekanter, som når du genkender dem, er et øjeblik at løse. Især de to trekanter er 30-60-90 og 45-45-90.
TL; DR (for lang; Læste ikke)
To specielle højre trekanter har indvendige vinkler på 30, 60 og 90 grader og 45, 45 og 90 grader.
Om højre trekanter
Trekanter er tre-sidede polygoner, hvis indre vinkler tilføjer op til 180 grader. Den højre trekant er et specielt tilfælde, hvor den ene af vinklerne er 90 grader, så de to andre vinkler per definition skal tilføje op til 90. Sinus-, cosinus-, tangent- og andre trigonometriske funktioner giver måder at beregne de indre vinkler på højre trekanter såvel som længden af deres sider. Et andet uundværligt beregningsværktøj til højre trekanter er Pythagoras sætning, som siger at firkanten af hypotenusens længde er lig med summen af firkanterne for de to andre sider eller
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2
Løsning af specielle højre trekanter
Når du arbejder på enhver form for retstrekningsproblem, får du normalt mindst en vinkel og en side og bliver bedt om at beregne de resterende vinkler og sider. Ved hjælp af den pythagoreanske formel ovenfor kan du beregne længden af en hvilken som helst side, hvis du får de to andre. En stor fordel ved de specielle højre trekanter er, at proportionerne af længderne på deres sider altid er de samme, så du kan finde længden på alle sider, hvis du kun får en. Hvis du kun får den ene side, og trekanten er speciel, kan du også finde værdierne for vinklerne.
30-60-90 trekanten
Som navnet antyder, har den 30-60-90 højre trekant indre vinkler på 30, 60 og 90 grader. Som en konsekvens falder siderne af denne trekant i proportionerne, 1: 2: √3, hvor 1 og √3 er længderne på den modsatte og tilstødende side, og 2 er hypotenusen. Disse tal går altid sammen: Hvis du løser siderne af en ret trekant og finder ud af, at de passer til mønsteret, 1, 2, √3, ved du, at vinklerne vil være 30, 60 og 90 grader. Ligeledes, hvis du får en af vinklerne som 30, ved du, at de to andre er 60 og 90, og også at siderne har proportionerne, 1: 2: √3.
45-45-90 trekanten
45-45-90 trekanten fungerer meget som 30-60-90, bortset fra at to vinkler er ens, ligesom de modsatte og tilstødende sider. Den har indvendige vinkler på 45, 45 og 90 grader. Proportionerne af trekantens sider er 1: 1: √2, hvor andelen af hypotenusen er √2. De to andre sider er ens i længden. Hvis du arbejder på en ret trekant, og en af de indvendige vinkler er 45 grader, ved du det i en øjeblikkeligt, at den resterende vinkel også skal være 45 grader, fordi hele trekanten skal tilføje op til 180 grader.
Trekantsider og andele
Når du løser de to specielle højre trekanter, skal du huske at det er detproportioneraf siderne der betyder noget, ikke deres måling i absolutte tal. For eksempel har en trekant sider, der måler 1 fod og 1 fod og √2 fødder, så du ved, at det er en 45-45-90 trekant og har indvendige vinkler på 45, 45 og 90 grader.
Men hvad laver du med en højre trekant, hvis sider måler √17 fod og √17 fod? Proportionerne af siderne er nøglen. Da de to sider er identiske, er forholdet 1: 1 med hinanden, og fordi det er en ret trekant, er andelen af hypotenusen 1: √2 med en af de andre sider. De samme proportioner tipper dig for, at siderne er 1, 1, √2, som kun hører til den specielle trekant 45-45-90. For at finde hypotenusen skal du gange √17 med √2 for at få √34 fod.