Du kan ikke løse en ligning, der indeholder en brøkdel med en irrationel nævner, hvilket betyder, at nævneren indeholder et udtryk med et radikalt tegn. Dette inkluderer firkant, terning og højere rødder. At slippe af med det radikale tegn kaldes rationalisering af nævneren. Når nævneren har et udtryk, kan du gøre dette ved at multiplicere de øverste og nederste termer med det radikale. Når nævneren har to termer, er proceduren lidt mere kompliceret. Du multiplicerer top og bund med konjugatet af nævneren og udvider og simpelthen tælleren.
TL; DR (for lang; Har ikke læst)
For at rationalisere en brøk skal du gange tælleren og nævneren med et tal eller udtryk, der slipper af med de radikale tegn i nævneren.
Rationalisering af en brøk med en periode i nævneren
En brøkdel med kvadratroden af et enkelt udtryk i nævneren er den nemmeste at rationalisere. Generelt har fraktionen form-en / √x. Du rationaliserer det ved at gange tælleren og nævneren med √x.
\ frac {\ sqrt {x}} {\ sqrt {x}} × \ frac {a} {\ sqrt {x}} = \ frac {a \ sqrt {x}} {x}
Da alt hvad du har gjort er at gange brøken med 1, ændres dens værdi ikke.
Eksempel:
Rationalisere
\ frac {12} {\ sqrt {6}}
Multiplicer tælleren og nævneren med √6 for at få
\ frac {12 \ sqrt {6}} {6}
Du kan forenkle dette ved at dele 6 i 12 for at få 2, så den forenklede form for den rationaliserede brøk er
2 \ sqrt {6}
Rationalisering af en brøkdel med to udtryk i nævneren
Antag at du har en brøkdel i formen
\ frac {a + b} {\ sqrt {x} + \ sqrt {y}}
Du kan slippe af med det radikale tegn i nævneren ved at gange udtrykket med dets konjugat. For en generel binomial af formularenx + y, konjugatet erx − y. Når du multiplicerer disse sammen, får du detx2 − y2. Anvendelse af denne teknik til den generelle fraktion ovenfor:
\ frac {a + b} {\ sqrt {x} + \ sqrt {y}} × \ frac {\ sqrt {x} - \ sqrt {y}} {\ sqrt {x} - \ sqrt {y}} \ \ \, \\ (a + b) × \ frac {\ sqrt {x} - \ sqrt {y}} {x - y}
Udvid tælleren for at få
\ frac {a \ sqrt {x} -a \ sqrt {y} + b \ sqrt {x} - b \ sqrt {y}} {x - y}
Dette udtryk bliver mindre kompliceret, når du erstatter nogle eller alle variablernes heltal.
Eksempel:
Rationaliser nævneren af fraktionen
\ frac {3} {1 - \ sqrt {y}}
Bøjneren til nævneren er 1 - (−√y) = 1+ √y. Multiplicer tælleren og nævneren med dette udtryk og forenkle:
\ frac {3 × (1 + \ sqrt {y})} {1 - y} \\ \, \\ \ frac {3 + 3 \ sqrt {y}} {1 - y}
Rationalisering af terningerødder
Når du har en terningrod i nævneren, skal du gange tælleren og nævneren med terningrod af kvadratet af tallet under det radikale tegn for at slippe af med det radikale tegn i nævneren. Generelt, hvis du har en brøkdel i formularen-en / 3√xmultiplicer top og bund med 3√x2.
Eksempel:
Rationaliser nævneren:
\ frac {7} {\ sqrt [3] {x}}
Multiplicer tælleren og nævneren med 3√x2 at få
\ frac {7 × \ sqrt [3] {x ^ 2}} {\ sqrt [3] {x} × \ sqrt [3] {x ^ 2}} = \ frac {7 × \ sqrt [3] {x ^ 2}} {\ sqrt [3] {x ^ 3}} \\ \, \\ \ frac {7 \ sqrt [3] {x ^ 2}} {x}