Et irrationelt tal er ikke så skræmmende, som det lyder; det er bare et tal, der ikke kan udtrykkes som en simpel brøk eller, for at sige det på en anden måde, et irrationelt tal er en uendelig decimal, der fortsætter et uendeligt antal steder forbi decimaltegnet. Du kan udføre de fleste operationer på irrationelle tal, ligesom du ville gøre med rationelle tal, men når det kommer til at tage kvadratrødder, bliver du nødt til at lære at tilnærme værdien.
Hvad er et irrationelt tal?
Så hvad er et irrationelt tal, alligevel? Du er måske allerede bekendt med to meget berømte irrationelle tal: π eller "pi", som næsten altid forkortes som 3.14, men faktisk fortsætter uendeligt til højre for decimaltegnet; og "e", også kaldet Eulers nummer, som normalt forkortes som 2.71828, men fortsætter også uendeligt til højre for decimaltegnet.
Men der er mange flere irrationelle tal derude, og her er en nem måde at få øje på nogle af dem: Hvis tallet under et kvadratrodstegn er ikke et perfekt kvadrat, så er kvadratroden en irrationel nummer.
Det er en frygtelig stor mundfuld, så her er et eksempel for at gøre det klart. Det hjælper også med at huske, at et perfekt kvadrat er et tal, hvis kvadratrod er et heltal:
Er √8 et irrationelt tal?Hvis du har husket dine perfekte firkanter udenad eller tager dig tid til at slå dem op, ved du det
\ sqrt {4} = 2 \ text {og} \ sqrt {9} = 3
Da √8 er imellem disse to tal, men der ikke er noget heltal mellem 2 og 3 for at være dets rod, er √8 irrationel.
At tage kvadratroden af et irrationelt tal
Når det kommer til beregning af kvadratroden af et irrationelt tal, har du to valg. Enten anbring det irrationelle tal i en lommeregner eller en online kvadratrodsregner (se Ressourcer), i hvilket tilfælde regnemaskinen returnerer en omtrentlig værdi for dig - eller du kan bruge en firetrinsproces til at estimere værdien dig selv.
Eksempel 1:Anslå værdien af det irrationelle tal √8.
Find de perfekte firkanter, der ville være på begge sider af √8 på nummerlinjen. I dette tilfælde er √4 = 2 og √9 = 3. Vælg den, der er tættest på dit målnummer. Da 8 er meget tættere på 9 end 4, skal du vælge
\ sqrt {9} = 3
Derefter dividerer du nummeret, hvis rod du vil have - 8 - med dit skøn. Fortsat eksemplet har du:
\ frac {8} {3} = 2,67
Find nu gennemsnittet af resultatet fra trin 2 med skillelinjen fra trin 2. Her betyder det gennemsnit på 3 og 2,67. Først skal du tilføje de to tal sammen og derefter dele med to:
3 + 2.67 = 5.6667
(Dette er faktisk det gentagne decimal 5.6666666666, men det er afrundet til fire decimaler for kortfattethed.)
\ frac {5.6667} {2} = 2.83335
Resultatet fra trin 3 er stadig ikke nøjagtigt, men det nærmer sig. Gentag trin 2 og 3 efter behov, og brug resultatet fra trin 3 som den nye skillevæg i trin 2 hver gang.
For at fortsætte eksemplet dividerer du 8 med resultatet fra trin 3 (2.83335), som giver dig:
\ frac {8} {2.83335} = 2.8235
(Igen afrundes til fire decimaler for kortfattethed.)
Du vil derefter gennemsnitlige resultatet af din division med divisoren, hvilket giver dig:
2.83335 + 2.8235 = 5.65685 \\ \, \\ \ frac {5.65685} {2} = 2.828425
Du kan fortsætte denne proces og gentage trin 2 og 3 efter behov, indtil svaret er så nøjagtigt, som du har brug for det.
Hvad med irrationelle firkantede rødder?
I stedet for at finde kvadratroden af et irrationelt tal, skal du undertiden håndtere irrationelle tal, der udtrykkes i kvadratrodform - en af de mest berømte, du lærer om, er √2.
Der er ikke meget, du kan gøre med √2 bortset fra at tilnærme dens værdi som beskrevet ovenfor. Men hvis du får et større irrationelt tal i kvadratrodform, kan du undertiden bruge det faktum, at
\ sqrt {cd} = \ sqrt {c} × \ sqrt {d}
at omskrive svaret i en enklere form.
Overvej den irrationelle kvadratrod √32. Selvom den ikke har en hovedrod (det vil sige en ikke-negativ, heltal rod), kan du faktorere det til noget med en velkendt hovedrod:
\ sqrt {32} = \ sqrt {16} × \ sqrt {2}
Du kan stadig ikke gøre meget med √2, men √16 = 4, så du kan tage dette et skridt videre og skrive det som
\ sqrt {32} = 4 \ sqrt {2}
Selvom du ikke har fjernet det radikale tegn fuldstændigt, har du forenklet dette irrationelle tal, samtidig med at du bevarer dets nøjagtige værdi.
