Hypotenusen er et af mange udtryk inden for matematik og videnskab, som de fleste mennesker synes at have hørt, men få kan definere eller beskrive ordentligt. Det refererer til den længste side af en højre trekant, som er en type geometrisk konstruktion med meget basale krav, men et praktisk ubegrænset udvalg af størrelser og overordnede former.
En højre trekant er en trekant med en vinkel på 90 grader. Dette eneste krav resulterer i trekanter, der besidder et fantastisk udvalg af unikke matematiske egenskaber, herunder måder at bestemme længden af hypotenusen givet information om de to andre sider eller den ene side og den ene af de to ikke-90 grader vinkler.
Egenskaber ved højre trekanter
Hypotenusen i en ret trekant er den længste side, som altid ligger overfor den rigtige vinkel. Længderne på de to andre sider kaldes ben, kan variere næsten uendeligt, fordi de to andre vinkler hver kan være mellem lidt over 0 grader og lige under 90 grader, forudsat at deres sum er 90. Dette følger af det faktum, at summen af vinklerne i en hvilken som helst trekant er 180 grader og en ret vinkel er 90 grader.
Hypotenuseformlen, som du måske allerede kender, er det formelle matematiske udtryk for Pythagoras sætning. Det hævdes, at summen af firkanterne af længderne på de kortere to sider af trekanten a og b er lig med kvadratet af længden af hypotenusen c:
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2
Sådan beregnes hypotenus fra siderne
Du kan se fra formlen for Pythagoras sætning, at at tage kvadratroden på hver side giver en eksplicit formel for værdien af hypotenusen:
c = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}
Hvis du har værdierne for længden af begge ben i trekanten, behøver du ingen oplysninger om størrelsen af vinklerne for at finde ud af hypotenusens længde. Alt hvad du skal gøre er at kvadratere hver benværdi uafhængigt, tilføje resultaterne sammen og tage kvadratroden af denne sum for at få svaret.
- Gå ikke fejl ved først at tilføje værdierne på benene og derefter kvadratere resultatet, ellers vil dit svar være forkert.
Sådan beregnes hypotenus fra en side og en vinkel
Hypotenusligningen ovenfor er kun til brug, hvis du kender længden på begge ben. I nogle situationer får du muligvis kun længden på et ben sammen med størrelsen af en af de to ikke-rigtige vinkler. Denne vinkel kan være ved siden af det kendte ben, eller det kan være overfor det (se et diagram for en bedre forståelse af dette).
I en korrekt mærket højre trekant ligger side a mellem vinkel B og ret vinkel C, og side b ligger mellem vinkel A og C; hypotenusen c forbinder således A og B. Dette giver anledning til følgende trigonometriske forhold:
sin A = a / c, sin B = b / c
cos A = b / c, cos B = a / c
tan A = a / b, tan B = b / a
Et rigtigt hypotenuseproblem
Hvilke forhold du bruger afhænger af, hvilken vinkel og hvilken side du kender. Til reference er sinus for en vinkel værdien af den modsatte side divideret med hypotenusens værdi; cosinus er værdien af den tilstødende side divideret med hypotenusens værdi; og tangenten er værdien af den modsatte side divideret med værdien for den tilstødende side.
For eksempel hvis siden -en = 15, og vinklen EN = 55 grader, kan du bruge sinusfunktionen på din lommeregner til at finde hypotenusen. Siden synd EN = a / c, du har c = -en/sin EN = 15 / sin 55. Dette viser sig at være 15 / 0,8192 = 18,31.