Har du nogensinde spekuleret på, hvordan trigonometriske funktioner som sinus og cosinus er relateret? De bruges begge til beregning af sider og vinkler i trekanter, men forholdet går længere end det.Cofunction identitetergiv os specifikke formler, der viser, hvordan man konverterer mellem sinus og cosinus, tangens og cotangens, og secant og cosecant.
TL; DR (for lang; Har ikke læst)
Sinus af en vinkel er lig med cosinus for dets komplement og omvendt. Dette gælder også for andre cofunktioner.
En nem måde at huske, hvilke funktioner der er medfunktioner, er at to trig-funktioner ermedfunktionerhvis en af dem har "co-" præfikset foran sig. Så:
- sinus ogcosinus ercofunktioner.
- tangent ogcotangent ercofunktioner.
- secant ogcosecant ercofunktioner.
Vi kan beregne frem og tilbage mellem cofunktioner ved hjælp af denne definition: Værdien af en vinkelfunktion er lig med værdien af komplementets cofunction.
Det lyder kompliceret, men i stedet for at tale om værdien af en funktion generelt, lad os bruge et specifikt eksempel. Det
Husk: To vinkler ersupplererhvis de tilføjer op til 90 grader.
Cofunction-identiteter i grader:
(Bemærk, at 90 ° -xgiver os en vinkels komplement.)
\ sin (x) = \ cos (90 ° - x) \\ \ cos (x) = \ sin (90 ° - x) \\ \ tan (x) = \ barneseng (90 ° - x) \\ \ barneseng (x) = \ tan (90 ° - x) \\ \ sec (x) = \ csc (90 ° - x) \\ \ csc (x) = \ sec (90 ° - x)
Cofunction Identities in Radians
Husk at vi også kan skrive ting i form afradianer, som er SI-enheden til måling af vinkler. Halvfems grader er de samme som π / 2 radianer, så vi kan også skrive cofunktionsidentiteterne som denne:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ tan (x) = \ barneseng \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cot (x) = \ tan \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ sec (x) = \ csc \ bigg (\ frac { π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ csc (x) = \ sec \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Cofunction Identities Proof
Alt dette lyder godt, men hvordan kan vi bevise, at dette er sandt? At teste det selv på et par eksempler på trekanter kan hjælpe dig med at føle dig sikker på det, men der er også et mere stringent algebraisk bevis. Lad os bevise cofunction-identiteterne for sinus og cosinus. Vi skal arbejde i radianer, men det er det samme som at bruge grader.
Bevis:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Først og fremmest skal du nå langt tilbage i din hukommelse til denne formel, fordi vi skal bruge den i vores bevis:
\ cos (A - B) = \ cos (A) \ cos (B) + \ sin (A) \ sin (B)
Forstået? OKAY. Lad os nu bevise: synd (x) = cos (π / 2 - x).
Vi kan omskrive cos (π / 2 -x) sådan her:
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) + \ sin \ bigg (\ frac {π } {2} \ bigg) \ sin (x) \\ \, \\ \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = 0 × \ cos (x) + 1 × \ sin ( x)
fordi vi ved det
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ tekst {og} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Så
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) = \ sin (x)
Ta-da! Lad os nu bevise det med cosinus!
Bevis:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
En anden eksplosion fra fortiden: Husker du denne formel?
\ sin (A - B) = \ sin (A) \ cos (B) - \ cos (A) \ sin (B)
Vi er ved at bruge det. Lad os nu bevise:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Vi kan omskrive synd (π / 2 -x) sådan her:
\ begynde {justeret} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) & = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) - \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ sin (x) \\ & = 1 × \ cos (x) - 0 × \ sin (x) \ end {justeret}
fordi vi ved det
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ tekst {og} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Så vi får
\ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos (x)
Kofunktionsberegner
Prøv et par eksempler, der arbejder med cofunktioner alene. Men hvis du sidder fast, har Math Celebrity en cofunction-lommeregner, der viser trin-for-trin-løsninger på cofunction-problemer.
Glad beregning!