Cirkler er overalt i den virkelige verden, hvorfor deres radier, diametre og omkreds er vigtige i applikationer i det virkelige liv. Men der er andre dele af cirkler - for eksempel sektorer og vinkler - som også har betydning i hverdagsapplikationer. Eksempler inkluderer sektorstørrelser på cirkulær mad som kager og tærter, vinklen i et pariserhjul, dimensionering af et dæk til et bestemt køretøj og især dimensionering af en ring til en indgreb eller bryllup. Af disse grunde og mere har geometri ligninger og problemberegninger, der beskæftiger sig med centrale vinkler, buer og sektorer i en cirkel.
Hvad er den centrale vinkel?
Den centrale vinkel defineres som vinklen skabt af to stråler eller radier, der udstråler fra midten af en cirkel, hvor cirkelens centrum er toppunktet for den centrale vinkel. Centrale vinkler er især relevante, når det drejer sig om jævn fordeling af pizza eller enhver anden cirkelbaseret mad blandt et bestemt antal mennesker. Sig, at der er fem personer på en soiree, hvor en stor pizza og en stor kage skal deles. Hvad er vinklen, som både pizzaen og kagen skal deles i for at sikre en lige skive for alle? Da der er 360 grader i en cirkel, bliver beregningen 360 grader divideret med 5 for at nå frem til 72 grader, således at hver skive, hvad enten det er pizza eller kage, har en central vinkel eller theta (θ), der måler 72 grader.
Bestemmelse af den centrale vinkel fra buelængden
En cirkelbue henviser til en "del" af cirkelens omkreds. Buelængden er derfor længden af den "del". Hvis du forestiller dig en pizza skive, kan sektorområdet være visualiseret som hele pizzaen, men buelængden er længden af skorpens yderkant særlig skive. Fra buelængden kan den centrale vinkel beregnes. Faktisk angiver en formel, der kan hjælpe med at bestemme den centrale vinkel, at buelængden (e) er lig med radius gange den centrale vinkel, eller
s = r × θ
hvor vinklen, theta, skal måles i radianer. Så for at løse den centrale vinkel, theta, behøver man kun at dele buelængden med radius, eller
\ frac {s} {r} = θ
For at illustrere, hvis buelængden er 5,9 og radius er 3,5329, så bliver den centrale vinkel 1,67 radianer. Et andet eksempel er, at hvis buelængden er 2, og radiusen er 2, bliver den centrale vinkel 1 radian. Hvis du vil konvertere radianer til grader, skal du huske, at 1 radian er lig med 180 grader divideret med π eller 57,2958 grader. Omvendt, hvis en ligning beder om at konvertere grader tilbage til radianer, skal du først gange med π og derefter dividere med 180 grader.
Bestemmelse af den centrale vinkel fra sektorområdet
En anden nyttig formel til bestemmelse af central vinkel leveres af sektorområdet, som igen kan visualiseres som et stykke pizza. Denne særlige formel kan ses på to måder. Den første har den centrale vinkel målt i grader, så sektorområdet er lig med π gange radius-kvadrat og derefter ganget med mængden af den centrale vinkel i grader divideret med 360 grader. Med andre ord:
πr ^ 2 × \ frac {\ text {central vinkel i grader}} {360 \ tekst {grader}} = \ tekst {sektorområde}
Hvis den centrale vinkel måles i radianer, bliver formlen i stedet:
\ text {sektorområde} = r ^ 2 × \ frac {\ text {central vinkel i radianer}} {2}
Omarrangering af formlerne hjælper med at løse værdien af den centrale vinkel eller theta. Overvej et sektorområde på 52,3 kvadratcentimeter med en radius på 10 centimeter. Hvad ville dens centrale vinkel være i grader? Beregningerne ville begynde med et sektorareal på 52,3 kvadratcentimeter svarende til:
\ frac {θ} {360 \ text {grader}} × πr ^ 2
Siden radius (r) er lig med 10, kan hele ligningen skrives som:
\ frac {52.3} {100π} × 360
så theta kan skrives som:
\ frac {52.3} {314} × 360
Således bliver det endelige svar en central vinkel på 60 grader.