En polygon er en hvilken som helst lukket todimensional figur med 3 eller flere lige (ikke buede) sider, og en 12-sidet polygon er kendt som en dodecagon. En regelmæssig dodecagon er en med lige sider og vinkler, og det er muligt at udlede en formel til beregning af dens areal. En uregelmæssig dodecagon har sider af forskellige længder og forskellige vinkler. En seksspidset stjerne er et eksempel. Der er ingen nem måde at beregne arealet på en uregelmæssig 12-sidet figur, medmindre du tilfældigvis har tegnet den på en graf og kan læse koordinaterne for hver af hjørnerne. Hvis ikke, er den bedste strategi at opdele figuren i regelmæssige former, som du kan beregne arealet for.
Beregning af arealet af en regelmæssig 12-sidet polygon
For at beregne arealet af en almindelig dodecagon skal du finde dens centrum, og den bedste måde at gøre det på er at skrive en cirkel omkring den, der bare rører ved hver af sine hjørner. Cirkelens centrum er centrum af dodecagon, og afstanden fra figurens centrum til hver af dets hjørner er simpelthen cirkelens radius (
r). Hver af figurens 12 sider har samme længde, så betegn dette veds.Du har brug for endnu en måling, og det er længden af en vinkelret linje trukket fra midtpunktet på hver side til midten af den 12-sidede form. Denne linje er kendt som apotemet. Angiv længden vedm. Det deler hvert afsnit dannet af radiuslinjerne i to retvinklede trekanter. Du ved det ikkem, men du kan finde det ved hjælp af Pythagoras sætning.
De 12 radiuslinjer opdeler cirklen, du har skrevet omkring dodecagon i 12 lige store sektioner, så i midten af figuren er vinklen, som hver linje gør med den ved siden af den, 30 grader. Hver af de 12 sektioner dannet af radiuslinjerne består af et par retvinklede trekanter med hypotenusrog en vinkel på 15 grader. Den side, der støder op til vinklen erm, så du kan finde det ved hjælp af r og sinus for vinklen.
\ sin (15) = \ frac {m} {r} \, \ text {og løs for} m \\ m = r × \ sin (15)
Du kan nu finde området for hver af de ligebenede trekanter, der er indskrevet i dodecagon, fordi du kender længden af basen - hvilket ers- og højden,m. Arealet af hver trekant er
\ begin {align} \ text {area} & = \ frac {1} {2} × \ text {base} × \ text {height} \\ & = \ frac {1} {2} × s × m \\ & = 1/2 × (s × r × \ sin (15)) \ slut {justeret}
Der er 12 sådanne sektioner, så gang med 12 for at finde det samlede areal af den almindelige 12-sidede form:
\ text {Areal med almindelig dodecagon} = 6 × (s × r × \ sin (15))
Find området for en uregelmæssig Dodecagon
Der er ingen formel til at finde arealet af en uregelmæssig dodecagon, da længderne på siderne og vinklerne ikke er de samme. Det er endda svært at lokalisere centrum. Den bedste strategi er at opdele figuren i regelmæssige former, beregne arealet for hver enkelt og tilføje dem.
Hvis formen er tegnet på en graf, og du kender hjørnernes koordinater, er der en formel, du kan bruge til at beregne arealet. Hvis hvert punkt (n) defineres ved (xn, yn), og du går rundt i figuren i rækkefølge, enten med eller mod uret, for at få en serie på 12 point, området er:
\ text {Area} = \ frac {| (x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3) +... + (x_ {11} y_ {12} - y_ {11} x_ {12}) + (x_ {12} y_1 - y_ {12} x_1) |} {2}