En matematisk sekvens er ethvert sæt tal, der er arrangeret i rækkefølge. Et eksempel ville være 3, 6, 9, 12,. .. Et andet eksempel ville være 1, 3, 9, 27, 81,. .. De tre prikker betyder, at sættet fortsætter. Hvert nummer i sættet kaldes et udtryk. En aritmetisk sekvens er en, hvor hvert udtryk er adskilt fra det, der ligger foran det, med en konstant, som du føjer til hvert udtryk. I det første eksempel er konstanten 3; du tilføjer 3 til hver periode for at få den næste periode. Den anden sekvens er ikke aritmetik, fordi du ikke kan anvende denne regel for at få vilkårene; tallene ser ud til at være adskilt med 3, men i dette tilfælde ganges hvert tal med 3, hvilket gør forskellen (dvs. hvad du får, hvis du trækker vilkår fra hinanden) meget mere end 3.
Det er let at finde ud af en aritmetisk sekvens, når den kun er et par vilkår lang, men hvad nu hvis den har tusinder af udtryk, og du vil finde en i midten? Du kan skrive sekvensen ud på lang hånd, men der er en meget lettere måde. Du bruger den aritmetiske sekvensformel.
Sådan udledes formlen for den aritmetiske sekvens
Hvis du betegner det første udtryk i en aritmetisk rækkefølge med bogstavet-en, og du lader den fælles forskel mellem termer væred, kan du skrive sekvensen i denne form:
a, (a + d), (a + 2d), (a + 3d),. . .
Hvis du betegner det niende udtryk i sekvensen somxn, kan du skrive en generel formel for det:
x_n = a + d (n - 1)
Brug dette til at finde det 10. udtryk i sekvensen 3, 6, 9, 12,. . .
x_ {10} = 3 + 3 (10 - 1) = 30
Tjek ved at skrive vilkårene i rækkefølge, så ser du, at det fungerer.
Et eksempel på et aritmetisk sekvensproblem
I mange problemer præsenteres du for en række af tal, og du skal bruge den aritmetiske sekvensformel til at skrive en regel for at udlede et hvilket som helst udtryk i den pågældende rækkefølge.
Skriv f.eks. En regel for sekvensen 7, 12, 17, 22, 27,. .. Den almindelige forskel (d) er 5 og den første periode (-en) er 7. Detndet udtryk er givet med den aritmetiske sekvensformel, så alt hvad du skal gøre er at tilslutte tallene og forenkle:
\ begynde {justeret} x_n & = a + d (n - 1) \\ & = 7 + 5 (n - 1) \\ & = 7 + 5n - 5 \\ & = 2 + 5n \ slut {justeret}
Dette er en aritmetisk sekvens med to variabler,xnogn. Hvis du kender den ene, kan du finde den anden. For eksempel, hvis du leder efter det 100. valgperiode (x100), dereftern= 100 og udtrykket er 502. På den anden side, hvis du vil vide, hvilket udtryk tallet 377 er, skal du omarrangere den aritmetiske sekvensformel løse forn:
\ begin {align} n & = \ frac {x_n - 2} {5} \\ \, \\ & = \ frac {377 - 2} {5} \\ \, \\ & = 75 \ end {align}
Nummeret 377 er det 75. udtryk i sekvensen.
