Mens de engelske ord "sekvens" og "serier" har lignende betydninger, er de i matematik helt forskellige begreber. En sekvens er en liste med tal placeret i en defineret rækkefølge, mens en serie er summen af en sådan liste med numre. Der er mange slags sekvenser, herunder dem, der er baseret på uendelige lister med tal. Forskellige sekvenser og den tilsvarende serie har forskellige egenskaber og kan give overraskende resultater.
TL; DR (for lang; Har ikke læst)
Sekvenser er lister over tal placeret i en bestemt rækkefølge i henhold til givne regler. Serien svarende til en sekvens er summen af tallene i den sekvens. Serier kan være aritmetiske, hvilket betyder at der er en fast forskel mellem numrene i serien eller geometrisk, hvilket betyder at der er en fast faktor. Uendelige serier har ikke noget endeligt tal, men kan stadig have et fast beløb under visse betingelser.
Typer af sekvenser og serier
Almindelige sekvenser er aritmetiske eller geometriske. I en aritmetisk sekvens adskiller hvert nummer eller udtryk i sekvensen sig fra det foregående udtryk med den samme mængde. For eksempel, hvis en aritmetisk sekvensforskel er 2, kan en tilsvarende aritmetisk sekvens være 1, 3, 5... Hvis forskellen er -3, kan en sekvens være 4, 1, -2... Den aritmetiske sekvens defineres af startnummeret og forskellen.
For geometriske sekvenser adskiller udtrykkene sig med en faktor. For eksempel kan en sekvens med en faktor 2 være 2, 4, 8... og en sekvens med en faktor på 0,75 kan være 32, 24, 18... Den geometriske sekvens defineres af startnummeret og faktoren.
Serietyperne afhænger af den rækkefølge, der tilføjes. En aritmetisk serie tilføjer udtrykkene for en aritmetisk sekvens, og en geometrisk serie tilføjer en geometrisk sekvens.
Endelige og uendelige sekvenser og serier
Sekvenser og den tilsvarende serie kan være baseret på et fast antal udtryk eller et uendeligt antal. En endelig sekvens har et startnummer, en forskel eller faktor og et fast samlet antal udtryk. For eksempel vil den første aritmetiske sekvens ovenfor med otte termer være 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Den første geometriske sekvens ovenfor med seks termer ville være 2, 4, 8, 16, 32, 64. Den tilsvarende aritmetiske serie ville have en værdi på 64 og den geometriske serie 126. Uendelige sekvenser har ikke et fast antal udtryk, og deres vilkår kan vokse til uendelig, falde til nul eller nærme sig en fast værdi. Den tilsvarende serie kan også have et uendeligt, nul eller et fast resultat.
Konvergent og divergerende serie
Uendelige serier er divergerende, hvis summen nærmer sig uendelig, når antallet af udtryk stiger. En uendelig serie er konvergent, hvis summen nærmer sig en ikke-uendelig værdi såsom nul eller et andet fast tal. Serier er konvergente, hvis vilkårene for den underliggende sekvens hurtigt nærmer sig nul.
Serien tilføjer vilkårene for den uendelige rækkefølge 1, 2, 4... er divergent, fordi vilkårene i sekvensen fortsætter med at vokse, så summen når en uendelig værdi, når antallet af udtryk stiger. Serien 1, 0,5, 0,25... er konvergent, fordi vilkårene hurtigt bliver meget små.
Mens sekvenser er ordnet lister over numre, og serier er summer, kan begge være vigtige værktøjer i evaluering af sæt af tal, og egenskaberne ved konvergens eller divergens kan have det virkelige liv implikationer. En divergerende serie repræsenterer ofte en ustabil tilstand, mens en konvergerende serie ofte betyder, at en proces eller struktur vil være stabil.