Med Super Bowl lige rundt om hjørnet har atleter og fans i verden deres fokus fast på det store spil. Men for _math_letes kan det store spil minde om et lille problem i forbindelse med de mulige scoringer i et fodboldspil. Med kun begrænsede muligheder for det antal point, du kan score, kan nogle totaler simpelthen ikke nås, men hvad er det højeste? Hvis du vil vide, hvad der forbinder mønter, fodbold og McDonalds kyllingemad, er dette et problem for dig.
Super Bowl-matematikproblemet
Problemet involverer de mulige scores, som enten Los Angeles Rams eller New England Patriots muligvis kunne opnå søndag uden en sikkerhed eller en to-punkts konvertering. Med andre ord er de tilladte måder at øge deres score på 3-punkts feltmål og 7-punkts touchdowns. Så uden sikkerhed kan du ikke opnå en score på 2 point i et spil med en kombination af 3'ere og 7'ere. På samme måde kan du heller ikke opnå en score på 4 og heller ikke score 5.
Spørgsmålet er: Hvad er den højeste score det kan ikke opnås med kun 3-punkts feltmål og 7-punkts touchdowns?
Selvfølgelig er touchdowns uden en konvertering 6 værd, men da du alligevel kan nå det med to feltmål, betyder det ikke noget for problemet. Da vi har at gøre med matematik her, behøver du heller ikke bekymre dig om det specifikke holds taktik eller endda nogen begrænsninger for deres evne til at score point.
Prøv at løse dette selv, inden du går videre!
At finde en løsning (den langsomme vej)
Dette problem har nogle komplekse matematiske løsninger (se Ressourcer for alle detaljer, men hovedresultatet vil blive introduceret nedenfor), men det er et godt eksempel på, hvordan dette ikke er havde brug for for at finde svaret.
Alt hvad du skal gøre for at finde en brute-force-løsning er at prøve hver af scoringerne igen. Så vi ved, at du ikke kan score 1 eller 2, fordi de er mindre end 3. Vi har allerede konstateret, at 4 og 5 ikke er mulige, men 6 er med to feltmål. Efter 7 (hvilket er muligt), kan du score 8? Nix. Tre feltmål giver 9, og et feltmål og en konverteret touchdown udgør 10. Men du kan ikke få 11.
Fra dette tidspunkt viser et lille arbejde, at:
\ begin {justeret} 3 × 4 & = 12 \\ 7 + (3 × 2) & = 13 \\ 7 × 2 & = 14 \\ 3 × 5 & = 15 \\ 7 + (3 × 3) & = 16 \\ (7 × 2) + 3 & = 17 \ slut {justeret}
Og faktisk kan du fortsætte sådan, så længe du vil. Svaret ser ud til at være 11. Men er det?
Den algebraiske løsning
Matematikere kalder disse problemer "Frobenius-møntproblemer." Den oprindelige form relateret til mønter, såsom: Hvis du kun havde mønter værdsat 4 cent og 11 cent (ikke rigtige mønter, men igen, det er matematiske problemer for dig), hvad er det største beløb, du ikke kunne fremstille.
Løsningen, når det gælder algebra, er den med en score værd s point og en score værd q point, den højeste score, du ikke kan få (N) er givet af:
N = pq \; - \; (p + q)
Så at tilslutte værdierne fra Super Bowl-problemet giver:
\ begin {align} N & = 3 × 7 \; – \;(3 + 7) \\ &= 21 \;–\; 10 \\ & = 11 \ slut {justeret}
Hvilket er svaret, vi fik den langsomme vej. Så hvad hvis du kun kunne score touchdowns uden konvertering (6 point) og touchdowns med one-point konverteringer (7 point)? Se om du kan bruge formlen til at udarbejde den, før du læser videre.
I dette tilfælde bliver formlen:
\ begin {align} N & = 6 × 7 \; – \;(6 + 7) \\ &= 42 \;–\; 13 \\ & = 29 \ slut {justeret}
Chicken McNugget-problemet
Så spillet er slut, og du vil belønne det vindende hold med en tur til McDonald's. Men de sælger kun McNuggets i kasser med 9 eller 20. Så hvad er det højeste antal nuggets dig kan ikke købe med disse (forældede) boksnumre? Prøv at bruge formlen til at finde svaret, før du læser videre.
Siden
N = pq \; - \; (p + q)
Og med s = 9 og q = 20:
\ begin {align} N & = 9 × 20 \; – \;(9 + 20) \\ &= 180 \;–\; 29 \\ & = 151 \ end {justeret}
Så forudsat at du købte mere end 151 nuggets - det vindende hold vil sandsynligvis være temmelig sultent - trods alt - du kunne købe et hvilket som helst antal nuggets, du ville have, med en eller anden bokskombination.
Du undrer dig måske over, hvorfor vi kun har dækket to-nummerversioner af dette problem. Hvad hvis vi indarbejdede sikkerhedsstillelser, eller hvis McDonalds solgte tre størrelser nuggetkasser? Der er ingen klar formel i dette tilfælde, og selvom de fleste versioner af det kan løses, er nogle aspekter af spørgsmålet fuldstændig uløst.
Så måske når du ser spillet eller spiser bidstykker kylling, kan du hævde, at du prøver at løse et åbent problem i matematik - det er værd at prøve at komme ud af husarbejde!