Někdy je „exponenciální růst“ pouze řečovou řečí, odkazem na cokoli, co roste nepřiměřeně nebo neuvěřitelně rychle. V určitých případech však můžete brát myšlenku exponenciálního růstu doslova. Populace králíků může například exponenciálně růst, jak se šíří každá generace, potom se rozmnožují jejich potomci atd. Obchodní nebo osobní příjem může také exponenciálně růst. Když budete vyzváni, abyste provedli výpočty exponenciálního růstu v reálném světě, budete pracovat se třemi informacemi: počáteční hodnota, rychlost růstu (nebo úpadek) a čas.
TL; DR (příliš dlouhý; Nečetl)
TL; DR (příliš dlouhý; Nečetl)
Pro výpočet exponenciálního růstu použijte vzorec y(t) = a__ekt, kde A je hodnota na začátku, k je rychlost růstu nebo rozpadu, t je čas a y(t) je hodnota populace v čase t.
Představte si, že vědec studuje růst nového druhu bakterií. I když mohl do kalkulačky populačního růstu zadat hodnoty počátečního množství, rychlosti růstu a času, rozhodl se ručně vypočítat rychlost růstu bakteriální populace.
Při pohledu zpět na své pečlivé záznamy vědec vidí, že jeho počáteční populací bylo 50 bakterií. O pět hodin později změřil 550 bakterií.
Zadávání informací vědce do rovnice pro exponenciální růst nebo rozpad, y(t) = a__ekt, on má:
550 = 50_ek_5
Jedinou neznámou v rovnici je knebo rychlost exponenciálního růstu.
Chcete-li začít řešit k, nejprve rozdělte obě strany rovnice o 50. To vám dává:
550/50 = (50_ek_5) / 50, což zjednodušuje na:
11 = E_k_5
Dále vezměte přirozený logaritmus obou stran, který je označen jako ln (X). To vám dává:
ln (11) = ln (E_k_5)
Přirozený logaritmus je inverzní funkcí EX, takže účinně "zruší" EX funkce na pravé straně rovnice, takže vám:
ln (11) = _k_5
Dále rozdělte obě strany číslem 5, abyste izolovali proměnnou, která vám dává:
k = ln (11) / 5
Nyní znáte rychlost exponenciálního růstu pro tuto populaci bakterií: k = ln (11) / 5. Pokud se chystáte provést další výpočty s touto populací - například zapojením rychlosti růstu do rovnice a odhadem velikosti populace na t = 10 hodin - nejlepší je nechat odpověď v této podobě. Pokud ale neprovádíte další výpočty, můžete tuto hodnotu zadat do kalkulačky exponenciálních funkcí - nebo do vaší vědecké kalkulačky - abyste získali odhadovanou hodnotu 0,479579. V závislosti na přesných parametrech experimentu je můžete zaokrouhlit na 0,48 / hodinu pro snadnější výpočet nebo zápis.
Tipy
Pokud by vaše míra růstu měla být menší než 1, říká vám to, že populace se zmenšuje. Toto se nazývá rychlost rozpadu nebo rychlost exponenciálního rozpadu.