Matematické funkce jsou výkonnými nástroji pro obchod, strojírenství a vědy, protože mohou fungovat jako miniaturní modely jevů reálného světa. Abyste porozuměli funkcím a vztahům, musíte se ponořit do pojmů, jako jsou množiny, uspořádané páry a vztahy. Funkce je speciální druh vztahu, který má pouze jedenyhodnota pro danouXhodnota. Existují i jiné druhy vztahů, které vypadají jako funkce, ale nesplňují přísnou definici jedné.
TL; DR (příliš dlouhý; Nečetl)
Relace je sada čísel uspořádaných do dvojic. Funkce je speciální druh vztahu, který má pouze jedenyhodnota pro danouXhodnota.
Sady, objednané páry a vztahy
K popisu vztahů a funkcí pomáhá nejprve diskutovat o množinách a uspořádaných párech. Stručně řečeno, sada čísel je jejich kolekce, obvykle obsažená v složených závorkách, například {15,1, 2/3} nebo {0, .22}. Typicky definujete množinu s pravidlem, jako jsou všechna sudá čísla mezi 2 a 10 včetně: {2,4,6,8,10}.
Sada může mít libovolný počet prvků nebo vůbec žádný, tj. Nulovou sadu {}. Uspořádaný pár je skupina dvou čísel uzavřených v závorkách, například (0,1) a (45, -2). Pro větší pohodlí můžete zavolat první hodnotu v objednaném páru
Xhodnota a druhá hodnotayhodnota. Relace organizuje uspořádané páry do sady. Například množina {(1,0), (1,5), (2,10), (2,15)} je relace. Můžete vykreslitXayhodnoty relace v grafu pomocíXaysekery.Vztahy a funkce
Funkce je vztah, ve kterém je danýXhodnota má pouze jeden odpovídajícíyhodnota. Možná si myslíte, že s objednanými páryXmá jen jednuyhodnota stejně. V příkladu vztahu uvedeného výše si však všimněte, žeXhodnoty 1 a 2 mají vždy dvě odpovídajícíyhodnoty, 0 a 5, respektive 10 a 15. Tento vztah není funkcí. Pravidlo dává funkčnímu vztahu definitivitu, která jinak neexistuje, pokud jde oXhodnoty. Můžete se zeptat, kdyXje 1, co jeyhodnota? Pro výše uvedený vztah nemá otázka jednoznačnou odpověď; může to být 0, 5 nebo obojí.
Nyní prozkoumejte příklad relace, která je skutečnou funkcí: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6)}. TheXhodnoty se nikde neopakují. Jako další příklad se podívejte na {(-1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)}. Nějakýyhodnoty se opakují, ale toto pravidlo neporušuje. Stále můžete říci, že když je hodnotaXje 0,yje rozhodně 5.
Grafické funkce: Test svislé čáry
To, zda je relace funkcí, poznáte tak, že vykreslíte čísla do grafu a použijete test svislé čáry. Pokud ho žádná svislá čára procházející grafem neprotíná ve více než jednom bodě, je relací funkce.
Funkce jako rovnice
Zápis sady uspořádaných párů jako funkce je snadný příklad, ale rychle se stává nudným, když máte více než několik čísel. Abychom tento problém vyřešili, matematici píší funkce ve smyslu rovnic, jako např
y = x ^ 2 - 2x + 3
Pomocí této kompaktní rovnice můžete vygenerovat tolik objednaných párů, kolik chcete: Připojte různé hodnoty proX, do toho matematiku, a vyjdi siyhodnoty.
Skutečné využití funkcí
Mnoho funkcí slouží jako matematické modely, které lidem umožňují pochopit jevy, které by jinak zůstaly tajemné. Vezmeme-li jednoduchý příklad, vzdálenostní rovnice pro padající objekt je
d = \ frac {1} {2} g t ^ 2
kdetje čas v sekundách aGje gravitační zrychlení. Připojte 9,8 pro zemskou gravitaci v metrech za sekundu na druhou a můžete zjistit vzdálenost, kterou objekt klesl, kdykoli. Všimněte si, že pro svou užitečnost mají modely omezení. Příkladová rovnice funguje dobře při upuštění ocelové koule, ale ne peří, protože vzduch peří zpomaluje.