Jakmile začnete řešit algebraické rovnice zahrnující polynomy, stane se velmi užitečnou schopnost rozpoznávat speciální snadno zohlednitelné formy polynomů. Jedním z nejužitečnějších „snadno faktorových“ polynomů ke zjištění je dokonalý čtverec nebo trinomiál, který je výsledkem kvadratury dvojčlenu. Jakmile identifikujete dokonalý čtverec, je jeho zahrnutí do jednotlivých komponent často důležitou součástí procesu řešení problémů.
Než budete moci určit dokonalý čtvercový trinomiál, musíte se ho naučit rozpoznávat. Dokonalý čtverec může mít jednu ze dvou forem
a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \ text {, který je výsledkem} (a + b) (a + b) = (a + b) ^ 2 \\ a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 \ text {, což je produkt} (a - b) (a - b) = (a - b) ^ 2
Zkontrolujte první a třetí výraz trinomia. Jsou to oba čtverce? Pokud ano, zjistěte, z čeho jsou čtverce. Například ve druhém příkladu „reálného světa“ uvedeném výše:
y ^ 2 - 2y + 1
termíny2 je zjevně čtverecy.Termín 1 je, snad méně zjevně, čtverec 1, protože 12 = 1.
Znásobte kořeny prvního a třetího termínu dohromady. Chcete-li pokračovat v příkladu, je to
ya 1, která vám dáváy × 1 = 1ynebo jednodušey.Poté vynásobte svůj produkt 2. V pokračování příkladu máte 2y.
Nakonec porovnejte výsledek posledního kroku se středním členem polynomu. Shodují se? V polynomuy2 – 2y+ 1, dělají. (Znamení je irelevantní; také by to byla shoda, kdyby byl střední termín +2y.)
Protože odpověď v kroku 1 byla „ano“ a váš výsledek z kroku 2 odpovídá střednímu termínu polynomu, víte, že se díváte na dokonalý čtvercový trojčlen.
Jakmile víte, že se díváte na dokonalý čtvercový trinomiál, proces jeho faktorování je zcela přímočarý.
Určete kořeny nebo čísla na druhou v prvním a třetím členu trinomia. Zvažte další z vašich příkladů trinomiálů, o kterých už víte, že jsou dokonalým čtvercem:
x ^ 2 + 8x + 16
Je zřejmé, že počet čtverců v prvním semestru jeX. Ve třetím semestru je počet čtverců 4, protože 42 = 16.
Vzpomeňte si na vzorce pro dokonalé čtvercové trojčlenky. Víte, že vaše faktory budou mít buď formu (A + b)(A + b) nebo formulář (A – b)(A – b), kdeAabjsou čísla na druhou v prvním a třetím termínu. Můžete tedy zapsat své faktory tak, že prozatím vynecháte znaménka uprostřed každého semestru:
(a \,? \, b) (a \,? \, b) = a ^ 2 \,? \, 2ab + b ^ 2
Chcete-li pokračovat v příkladu dosazením kořenů svého současného trinomia, máte:
(x \,? \, 4) (x \,? \, 4) = x ^ 2 + 8x + 16
Zkontrolujte střední termín trinomia. Má kladné nebo záporné znaménko (nebo, jinak řečeno, přidává se nebo odečítá)? Pokud má kladné znaménko (nebo se přidává), pak oba faktory trinomia mají ve středu znaménko plus. Pokud má záporné znaménko (nebo se odečítá), oba faktory mají záporné znaménko uprostřed.
Střední termín současného příkladu trinomiální je 8X- je to pozitivní - takže jste nyní zapracovali perfektní čtvercovou trojici:
(x + 4) (x + 4) = x ^ 2 + 8x + 16
Zkontrolujte svou práci vynásobením těchto dvou faktorů. Použitím metody FOIL nebo první, vnější, vnitřní a poslední metody získáte:
x ^ 2 + 4x + 4x + 16
Zjednodušení dává výsledekX2 + 8X+ 16, což odpovídá vaší trinomii. Faktory jsou tedy správné.