Naučit se pracovat s exponenty tvoří nedílnou součást jakéhokoli matematického vzdělávání, ale naštěstí pravidla pro jejich násobení a dělení odpovídají pravidlům pro nefrakční exponenty. Prvním krokem k pochopení toho, jak zacházet s zlomkovými exponenty, je získání přehledu o tom, co přesně jsou, a pak se můžete podívat na způsoby, jak kombinovat exponenty, když jsou násobení nebo dělení a mají stejné základna. Stručně řečeno, při násobení sčítáte exponenty a při dělení odečtete jeden od druhého, pokud mají stejnou základnu.
TL; DR (příliš dlouhý; Nečetl)
Znásobte výrazy s exponenty pomocí obecného pravidla:
XA + Xb = X(A + b)
A rozdělte termíny exponenty pomocí pravidla:
XA ÷ Xb = X(A – b)
Tato pravidla fungují s jakýmkoli výrazem namístoAab, dokonce i zlomky.
Co jsou zlomkoví exponenti?
Frakční exponenty poskytují kompaktní a užitečný způsob vyjádření druhé mocniny, krychle a vyšších kořenů. Jmenovatel exponenta vám řekne, jaký kořen „základního“ čísla tento termín představuje. V termínu jakoXA, zavolášXzákladna aAexponent. Částečný exponent vám říká:
x ^ {1/2} = \ sqrt {x}
Jmenovatel dvou na exponentu vám říká, že berete druhou odmocninuXv tomto výrazu. Stejné základní pravidlo platí pro vyšší kořeny:
x ^ {1/3} = \ sqrt [3] {x}
A
x ^ {1/4} = \ sqrt [4] {x}
Tento vzor pokračuje. Konkrétní příklad:
9 ^ {1/2} = \ sqrt {9} = 3
A
8 ^ {1/3} = \ sqrt [3] {8} = 2
Pravidla pro frakční exponenty: Násobení frakčních exponentů se stejnou základnou
Znásobte výrazy s zlomkovými exponenty (za předpokladu, že mají stejnou základnu) sečtením exponentů. Například:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3 + 1/3)} \\ = x ^ 1 = x
Od té dobyX1/3 znamená „kořen krychle zX„Dává smysl, že toto vynásobení dvakrát samo o sobě dává výsledekX. Můžete také narazit na příklady jakoX1/3 × X1/3, ale vy se s nimi vypořádáváte přesně stejným způsobem:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3)} \\ = x ^ {2/3}
Skutečnost, že výraz na konci je stále zlomkovým exponentem, tento proces nijak nezmění. To lze zjednodušit, pokud si to všimneteX2/3 = (X1/3)2 = ∛X2. S takovým výrazem nezáleží na tom, zda nejprve vezmete kořen nebo sílu. Tento příklad ukazuje, jak je lze vypočítat:
8 ^ {1/3} + 8 ^ {1/3} = 8 ^ {2/3} \\ = (\ sqrt [3] {8}) ^ 2
Protože kořen krychle 8 je snadné zjistit, řešte to takto:
(\ sqrt [3] {8}) ^ 2 = 2 ^ 2 = 4
To znamená:
8^{1/3} + 8^{1/3}= 4
Můžete se také setkat s produkty zlomkových exponentů s různými čísly ve jmenovatelích zlomků a tyto exponenty můžete přidat stejným způsobem, jako byste přidali další zlomky. Například:
\ begin {aligned} x ^ {1/4} × x ^ {1/2} & = x ^ {(1/4 + 1/2)} \\ & = x ^ {(1/4 + 2/4 )} \\ & = x ^ {3/4} \ end {zarovnáno}
Toto jsou všechny specifické výrazy obecného pravidla pro násobení dvou výrazů exponenty:
x ^ a + x ^ b = x ^ {(a + b)}
Pravidla pro frakční exponenty: Rozdělení frakčních exponentů se stejnou základnou
Řešte dělení dvou čísel pomocí zlomkových exponentů tak, že odečtete exponent, který dělíte (dělitel) od děleného exponenta (dividenda). Například:
x ^ {1/2} ÷ x ^ {1/2} = x ^ {(1/2 - 1/2)} \\ = x ^ 0 = 1
To dává smysl, protože libovolné číslo dělené sebou se rovná jedné a to souhlasí se standardním výsledkem, že jakékoli číslo zvednuté na mocninu 0 se rovná jedné. Následující příklad používá čísla jako základy a různé exponenty:
\ begin {aligned} 16 ^ {1/2} ÷ 16 ^ {1/4} & = 16 ^ {(1/2 - 1/4)} \\ & = 16 ^ {(2/4 - 1/4 )} \\ & = 16 ^ {1/4} \\ & = 2 \ end {zarovnáno}
Což také můžete vidět, pokud si všimnete, že 161/2 = 4 a 161/4 = 2.
Stejně jako u násobení můžete také skončit s zlomkovými exponenty, kteří mají v čitateli jiné než jedno číslo, ale vy s nimi zacházíte stejným způsobem.
Jednoduše vyjadřují obecné pravidlo pro dělení exponentů:
x ^ a ÷ x ^ b = x ^ {(a - b)}
Násobení a dělení zlomkových exponentů v různých základnách
Pokud jsou základy na pojmech různé, neexistuje snadný způsob, jak rozmnožovat nebo dělit exponenty. V těchto případech jednoduše spočítejte hodnotu jednotlivých výrazů a poté proveďte požadovanou operaci. Jedinou výjimkou je, pokud je exponent stejný, v takovém případě je můžete znásobit nebo rozdělit následujícím způsobem:
x ^ 4 × y ^ 4 = (xy) ^ 4 \\ x ^ 4 ÷ y ^ 4 = (x ÷ y) ^ 4