Rovnice absolutní hodnoty mohou být zpočátku trochu zastrašující, ale pokud to budete udržovat, brzy je snadno vyřešíte. Když se pokoušíte vyřešit rovnice absolutní hodnoty, pomůže vám to mít na paměti význam absolutní hodnoty.
Definice absolutní hodnoty
Theabsolutní hodnotačíslaX, písemné |X|, je jeho vzdálenost od nuly na číselném řádku. Například -3 je 3 jednotky od nuly, takže absolutní hodnota -3 je 3. Píšeme to takto: | −3 | = 3.
Další způsob, jak o tom přemýšlet, je tenabsolutní hodnotaje pozitivní „verze“ čísla. Absolutní hodnota −3 je tedy 3, zatímco absolutní hodnota 9, která je již kladná, je 9.
Algebraicky můžeme napsat avzorec pro absolutní hodnotuto vypadá takto:
| x | = \ begin {cases} x & \ text {if} x≥ 0 \\ -x & \ text {if} x ≤ 0 \ end {cases}
Vezměte si příklad, kdeX= 3. Vzhledem k tomu, 3 ≥ 0, absolutní hodnota 3 je 3 (v absolutní hodnotě je to: | 3 | = 3).
Co když?X= −3? Je to méně než nula, takže | −3 | = - (-3). Opak, nebo „zápor“, o -3 je 3, takže | −3 | = 3.
Řešení rovnic absolutní hodnoty
Nyní pro některé rovnice absolutní hodnoty. Obecné kroky pro řešení rovnice absolutní hodnoty jsou:
Izolujte výraz absolutní hodnoty.
Vyřešte kladnou „verzi“ rovnice.
Vyřešte zápornou „verzi“ rovnice vynásobením veličiny na druhé straně znaménka rovnosti −1.
Na konkrétním příkladu kroků se podívejte na problém níže.
Příklad: Vyřešte rovnici proX:
| 3 + x | - 5 = 4
Budete muset získat | 3 +X| sám na levé straně znaménka rovnosti. Chcete-li to provést, přidejte 5 na obě strany:
| 3 + x | - 5 + 5 = 4 + 5 \\ | 3 + x | = 9
Vyřešit proXjako by tam znaménko absolutní hodnoty nebylo!
| 3 + x | = 9 → 3 + x = 9
To je snadné: Stačí odečíst 3 z obou stran.
3 + x -3 = 9 -3 \\ x = 6
Jedno řešení rovnice tedy jeX = 6.
Začít znovu od | 3 +X| = 9. Algebra v předchozím kroku to ukázalaXmůže být 6. Ale protože se jedná o rovnici absolutní hodnoty, existuje další možnost, kterou je třeba zvážit. Ve výše uvedené rovnici je absolutní hodnota „něčeho“ (3+X) se rovná 9. Jistě, absolutní hodnota kladných 9 se rovná 9, ale je tu i další možnost! Absolutní hodnota −9 se také rovná 9. Neznámé „něco“ by se tedy mohlo rovnat −9.
Jinými slovy:
3 + x = -9
Rychlou cestou k této druhé verzi je znásobení množství na druhé straně rovná se z výrazu absolutní hodnoty (v tomto případě 9) o -1, poté vyřešte rovnici z tam.
Tak:
| 3 + x | = 9 → 3 + x = 9 × (-1) \\ 3 + x = -9
Odečtěte 3 z obou stran a získejte:
3 + x -3 = -9 -3 \\ x = -12
Dvě řešení jsou tedy:X= 6 neboX = −12.
A tady to máte! Tyto druhy rovnic vyžadují praxi, takže si nedělejte starosti, pokud se na začátku potýkáte. Pokračujte a bude to snazší!