Co jsou skutečná čísla?

Skutečná čísla jsou všechna čísla na číselné řadě sahající od záporného nekonečna přes nulu po kladné nekonečno. Tato konstrukce množiny reálných čísel není libovolná, nýbrž je výsledkem evoluce z přirozených čísel použitých pro počítání. Systém přirozených čísel má několik nesrovnalostí a jak se výpočty staly složitějšími, číselný systém se rozšířil, aby řešil svá omezení. Se skutečnými čísly poskytují výpočty konzistentní výsledky a existuje několik výjimek nebo omezení, jaké byly přítomny u primitivnějších verzí číselného systému.

TL; DR (příliš dlouhý; Nečetl)

Sada reálných čísel se skládá ze všech čísel na číselné řadě. To zahrnuje přirozená čísla, celá čísla, celá čísla, racionální čísla a iracionální čísla. Nezahrnuje imaginární čísla ani komplexní čísla.

Uzávěr je vlastnost množiny čísel, což znamená, že pokud jsou prováděny povolené výpočty na číslech, která jsou členy množiny, odpověďmi budou také čísla, která jsou členy množiny. Souprava je prý uzavřena.

Přirozená čísla jsou počítaná čísla, 1, 2, 3... a množina přirozených čísel není uzavřena. Protože se v obchodě používala přirozená čísla, okamžitě nastaly dva problémy. Zatímco přirozená čísla počítají skutečné objekty, například krávy, pokud měl zemědělec pět krav a prodal pět krav, nebylo pro výsledek přirozené číslo. Systémy raných čísel velmi rychle vyvinuly termín pro nulu, aby tento problém vyřešily. Výsledkem byl systém celých čísel, což jsou přirozená čísla plus nula.

Druhý problém byl také spojen s odčítáním. Dokud čísla počítala skutečné předměty, jako jsou krávy, nemohl zemědělec prodat více krav, než měl. Když se však čísla stala abstraktními, odčítání větších čísel od menších dávalo odpovědi mimo systém celých čísel. Ve výsledku byla zavedena celá čísla, což jsou celá čísla plus záporná přirozená čísla. Číselný systém nyní obsahoval celou číselnou řadu, ale pouze s celými čísly.

Výpočty v uzavřeném číselném systému by měly poskytnout odpovědi z číselného systému pro operace jako sčítání a násobení, ale také pro jejich inverzní operace, odčítání a divize. Systém celých čísel je uzavřen pro sčítání, odčítání a násobení, ale ne pro dělení. Pokud je celé číslo vyděleno jiným celým číslem, výsledkem není vždy celé číslo.

Rozdělení malého celého čísla na větší dává zlomek. Takové zlomky byly přidány do číselného systému jako racionální čísla. Racionální čísla jsou definována jako jakékoli číslo, které lze vyjádřit jako poměr dvou celých čísel. Libovolné desetinné číslo lze vyjádřit jako racionální číslo. Například 2,864 je 2864/1000 a 0,89632 je 89632/100 000. Číselná řada se nyní zdála být úplná.

Na číselné řadě jsou čísla, která nelze vyjádřit jako zlomek celých čísel. Jedním z nich je poměr stran pravoúhlého trojúhelníku k přeponě. Pokud jsou dvě strany pravoúhlého trojúhelníku 1 a 1, je přepona druhou odmocninou 2. Druhá odmocnina ze dvou je nekonečné desetinné místo, které se neopakuje. Taková čísla se nazývají iracionální a zahrnují všechna reálná čísla, která nejsou racionální. S touto definicí je číselná řada všech reálných čísel úplná, protože jakékoli jiné reálné číslo, které není racionální, je zahrnuto v definici iracionální.

Ačkoli se říká, že řada reálných čísel sahá od záporného do kladného nekonečna, nekonečno samo o sobě není a skutečné číslo, ale spíše koncept číselného systému, který jej definuje jako množství větší než kterýkoli jiný číslo. Matematicky nekonečno je odpověď na 1 / x, když x dosáhne nuly, ale dělení nulou není definováno. Pokud by nekonečno bylo číslo, vedlo by to k rozporům, protože nekonečno nedodržuje zákony aritmetiky. Například nekonečno plus 1 je stále nekonečno.

Sada reálných čísel je uzavřena pro sčítání, odčítání, násobení a dělení s výjimkou dělení nulou, které není definováno. Sada není uzavřena alespoň pro jednu další operaci.

Pravidla násobení v množině reálných čísel určují, že násobení záporné a a kladné číslo dává záporné číslo, zatímco násobení kladných nebo záporných čísel dává kladné číslo odpovědi. To znamená, že speciální případ násobení čísla sám o sobě poskytuje kladné číslo pro kladná i záporná čísla. Inverzem tohoto zvláštního případu je druhá odmocnina kladného čísla, která dává pozitivní i negativní odpověď. Pro druhou odmocninu záporného čísla neexistuje žádná sada v sadě reálných čísel.

Koncept množiny imaginárních čísel řeší otázku záporných odmocnin v reálných číslech. Druhá odmocnina mínus 1 je definována jako i a všechna imaginární čísla jsou násobky i. K dokončení teorie čísel je sada komplexních čísel definována jako zahrnující všechna reálná a všechna imaginární čísla. Skutečná čísla lze i nadále vizualizovat na vodorovné číselné řadě, zatímco imaginární čísla jsou vertikální číselná řada, přičemž dvě se protínají na nule. Složitá čísla jsou body v rovině dvou číselných řad, každá se skutečnou a imaginární složkou.