Kvadratická rovnice je rovnice, která obsahuje jednu proměnnou a ve které je proměnná čtvercová. Standardní forma pro tento typ rovnice, která při grafu vždy vytvoří parabolu, jesekera2 + bx + C= 0, kdeA, baCjsou konstanty. Hledání řešení není tak přímočaré jako u lineární rovnice a jedním z důvodů je, že kvůli čtvercovému výrazu existují vždy dvě řešení. K řešení kvadratické rovnice můžete použít jednu ze tří metod. Můžete faktorovat výrazy, které nejlépe fungují u jednodušších rovnic, nebo můžete vyplnit druhou mocninu. Třetí metodou je použití kvadratického vzorce, který je zobecněným řešením každé kvadratické rovnice.
Kvadratický vzorec
Pro obecnou kvadratickou rovnici tvarusekera2 + bx + C= 0, řešení jsou dána tímto vzorcem:
x = \ frac {−b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Všimněte si, že znaménko ± uvnitř závorek znamená, že vždy existují dvě řešení. Jedno z řešení využívá
\ frac {−b + \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
a další použití řešení
\ frac {−b - \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Použití kvadratického vzorce
Než budete moci použít kvadratický vzorec, musíte se ujistit, že rovnice je ve standardní formě. Možná to tak není. NějakýX2 termíny mohou být na obou stranách rovnice, takže je budete muset sbírat na pravé straně. Totéž proveďte se všemi x členy a konstantami.
Příklad: Najděte řešení rovnice
3x ^ 2 - 12 = 2x (x -1)
Rozbalte závorky:
3x ^ 2 - 12 = 2x ^ 2 - 2x
Odečtěte 2X2 a z obou stran. Přidat 2Xna obě strany
3x ^ 2 - 2x ^ 2 + 2x - 12 = 2x ^ 2 -2x ^ 2 -2x + 2x \\ 3x ^ 2 - 2x ^ 2 + 2x - 12 = 0 \\ x ^ 2 - 2x -12 = 0
Tato rovnice je ve standardní forměsekera2 + bx + C= 0 kdeA = 1, b= -2 aC = 12
Kvadratický vzorec je
x = \ frac {−b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Od té dobyA = 1, b= -2 aC= −12, toto se stane
x = \ frac {- (- 2) ± \ sqrt {(- 2) ^ 2 - 4 × 1 × (-12)}} {2 × 1}
x = \ frac {2 ± \ sqrt {(4+ 48}} {2} \\ \, \\ x = \ frac {2 ± \ sqrt {52}} {2} \\ \, \\ x = \ frac {2 ± 7,21} {2} \\ \, \\ x = \ frac {9.21} {2} \ text {a} x = \ frac {−5.21} {2} \\ \, \\ x = 4,605 \ text {a} x = −2.605
Dva další způsoby řešení kvadratických rovnic
Kvadratické rovnice můžete vyřešit factoringem. K tomu víceméně uhodnete dvojici čísel, která po sčítání dávají konstantuba když se násobí společně, dejte konstantuC. Tato metoda může být obtížná, pokud se jedná o zlomky. a pro výše uvedený příklad by nefungoval dobře.
Druhou metodou je dokončení čtverce. Pokud máte rovnici, je standardní forma,sekera2 + bx + C= 0, řečenoCna pravé straně a přidejte výraz (b/2)2 na obě strany. To vám umožní vyjádřit levou stranu jako (X + d)2, kdedje konstanta. Pak můžete vzít druhou odmocninu obou stran a vyřešit proX. Rovnici ve výše uvedeném příkladu lze opět snáze vyřešit pomocí kvadratického vzorce.
