Jak zjednodušit složitá čísla

Algebra často zahrnuje zjednodušení výrazů, ale s některými výrazy je více matoucí než s jinými. Komplexní čísla zahrnují množství známé jakoi, „imaginární“ číslo s touto vlastnostíi= √−1. Pokud potřebujete jednoduše výraz zahrnující komplexní číslo, může se to zdát skličující, ale jakmile se naučíte základní pravidla, je to docela jednoduchý proces.

TL; DR (příliš dlouhý; Nečetl)

Zjednodušte složitá čísla podle pravidel algebry se složitými čísly.

Co je to komplexní číslo?

Složitá čísla jsou definována jejich zahrnutímitermín, což je druhá odmocnina mínus jedna. V základní matematice druhé odmocniny záporných čísel ve skutečnosti neexistují, ale občas se projeví v problémech s algebrou. Obecná forma komplexního čísla ukazuje jejich strukturu:

z = a + bi

Kdezoznačí komplexní číslo,Apředstavuje libovolné číslo (nazývá se „skutečná“ část) abpředstavuje další číslo (nazývané „imaginární“ část), které může být kladné i záporné. Příklad komplexního čísla je tedy:

z = 2 −4i

Protože všechny druhé odmocniny záporných čísel lze reprezentovat násobky

i, toto je forma pro všechna komplexní čísla. Po technické stránce regulární číslo popisuje zvláštní případ komplexního čísla kdeb= 0, takže všechna čísla lze považovat za složitá.

Základní pravidla pro algebru se složitými čísly

Chcete-li sčítat a odčítat složitá čísla, jednoduše přidejte nebo odečtěte skutečnou a imaginární část samostatně. Takže pro komplexní číslaz​ = 2 – 4​iaw​ = 3 + 5​i, součet je:

\ begin {seřazeno} z + w & = (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ & = (2 + 3) + (-4 + 5) i \\ & = 5 + 1i \\ & = 5 + i \ end {zarovnáno}

Odečítání čísel funguje stejným způsobem:

\ begin {zarovnáno} z- w & = (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ & = (2 - 3) + (-4 - 5) i \\ & = -1 -9i \ end {zarovnáno }

Násobení je další jednoduchá operace se složitými čísly, protože funguje jako běžné násobení, až na to si musíte pamatovati2 = −1. Takže pro výpočet 3i​ × −4​i​:

3i × -4i = -12i ^ 2

Ale odi2= -1, pak:

-12i ^ 2 = -12 × -1 = 12

S úplnými komplexními čísly (pomocíz​ = 2 – 4​iaw​ = 3 + 5​iznovu), znásobíte je stejným způsobem jako u běžných čísel jako (A​ + ​b​) (​C​ + ​d) pomocí metody „první, vnitřní, vnější, poslední“ (FOIL) dát (A​ + ​b​) (​C​ + ​d​) = ​ac​ + ​před naším letopočtem​ + ​inzerát​ + ​bd. Jediné, co si musíte pamatovat, je zjednodušit všechny případyi2. Například:

\ begin {aligned} z × w & = (2 -4i) (3 + 5i) \\ & = (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ & = 6 -12i + 10i - 20i ^ 2 \\ & = 6 -2i + 20 \\ & = 26 + 2i \ end {zarovnáno}

Dělení komplexních čísel

Dělení komplexních čísel zahrnuje vynásobení čitatele a jmenovatele zlomku komplexním konjugátem jmenovatele. Komplexní konjugát znamená pouze verzi komplexního čísla s imaginární částí obrácenou ve znaménku. Tak proz​ = 2 – 4​i, komplexní konjugátz = 2 + 4​i, a prow​ = 3 + 5​i​, ​w = 3 −5​i. Pro problém:

\ frac {z} {w} = \ frac {2 -4i} {3 + 5i}

Potřebný konjugát jew*. Vydělte čitatele a jmenovatele tímto, čímž získáte:

\ frac {z} {w} = \ frac {(2 -4i) (3 -5i)} {(3 + 5i) (3-5i)}

A pak se propracujete jako v předchozí části. Čitatel udává:

\ begin {zarovnaný} (2 -4i) (3 -5i) & = 6 -12i- 10i + 20i ^ 2 \\ & = -14-22i \ end {zarovnaný}

A jmenovatel dává:

\ begin {zarovnáno} (3 + 5i) (3-5i) & = 9 + 15i - 15i -25i ^ 2 \\ & = 9 + 25 \\ & = 34 \ end {zarovnáno}

To znamená:

\ begin {aligned} \ frac {z} {w} & = \ frac {-14 - 22i} {34} \\ \, \\ & = \ frac {-14} {34} - \ frac {22i} { 34} \\ \, \\ & = \ frac {-7} {17} - \ frac {11i} {17} \ end {zarovnáno}

Zjednodušení komplexních čísel

Podle potřeby použijte výše uvedená pravidla ke zjednodušení složitých výrazů. Například:

z = \ frac {(4 + 2i) + (2 -i)} {(2 + 2i) (2+ i)}

To lze zjednodušit pomocí pravidla přidání v čitateli, pravidla násobení ve jmenovateli a následného dokončení dělení. Pro čitatele:

(4 + 2i) + (2 - i) = 6 + i

Pro jmenovatele:

\ begin {zarovnáno} (2 + 2i) (2+ i) & = 4 + 4i + 2i + 2i ^ 2 \\ & = (4 -2) + 6i \\ & = 2 + 6i \ end {zarovnáno}

Jejich vrácením na místo získáte:

z = \ frac {6 + i} {2 + 6i}

Násobení obou částí konjugátem jmenovatele vede k:

\ begin {aligned} z & = \ frac {(6 + i) (2 - 6i)} {(2 + 6i) (2 -6i)} \\ \, \\ & = \ frac {12 + 2i -36i -6i ^ 2} {4 + 12i -12i -36i ^ 2} \\ \, \\ & = \ frac {18 - 34i} {40} \\ \, \\ & = \ frac {9 - 17i} {20} \\ \, \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {zarovnáno}

To tedy znamenázzjednodušuje takto:

\ begin {aligned} z & = \ frac {(4 + 2i) + (2 - i)} {(2 + 2i) (2+ i)} \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {zarovnáno}

  • Podíl
instagram viewer