Algebra často zahrnuje zjednodušení výrazů, ale s některými výrazy je více matoucí než s jinými. Komplexní čísla zahrnují množství známé jakoi, „imaginární“ číslo s touto vlastnostíi= √−1. Pokud potřebujete jednoduše výraz zahrnující komplexní číslo, může se to zdát skličující, ale jakmile se naučíte základní pravidla, je to docela jednoduchý proces.
TL; DR (příliš dlouhý; Nečetl)
Zjednodušte složitá čísla podle pravidel algebry se složitými čísly.
Co je to komplexní číslo?
Složitá čísla jsou definována jejich zahrnutímitermín, což je druhá odmocnina mínus jedna. V základní matematice druhé odmocniny záporných čísel ve skutečnosti neexistují, ale občas se projeví v problémech s algebrou. Obecná forma komplexního čísla ukazuje jejich strukturu:
z = a + bi
Kdezoznačí komplexní číslo,Apředstavuje libovolné číslo (nazývá se „skutečná“ část) abpředstavuje další číslo (nazývané „imaginární“ část), které může být kladné i záporné. Příklad komplexního čísla je tedy:
z = 2 −4i
Protože všechny druhé odmocniny záporných čísel lze reprezentovat násobky
i, toto je forma pro všechna komplexní čísla. Po technické stránce regulární číslo popisuje zvláštní případ komplexního čísla kdeb= 0, takže všechna čísla lze považovat za složitá.Základní pravidla pro algebru se složitými čísly
Chcete-li sčítat a odčítat složitá čísla, jednoduše přidejte nebo odečtěte skutečnou a imaginární část samostatně. Takže pro komplexní číslaz = 2 – 4iaw = 3 + 5i, součet je:
\ begin {seřazeno} z + w & = (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ & = (2 + 3) + (-4 + 5) i \\ & = 5 + 1i \\ & = 5 + i \ end {zarovnáno}
Odečítání čísel funguje stejným způsobem:
\ begin {zarovnáno} z- w & = (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ & = (2 - 3) + (-4 - 5) i \\ & = -1 -9i \ end {zarovnáno }
Násobení je další jednoduchá operace se složitými čísly, protože funguje jako běžné násobení, až na to si musíte pamatovati2 = −1. Takže pro výpočet 3i × −4i:
3i × -4i = -12i ^ 2
Ale odi2= -1, pak:
-12i ^ 2 = -12 × -1 = 12
S úplnými komplexními čísly (pomocíz = 2 – 4iaw = 3 + 5iznovu), znásobíte je stejným způsobem jako u běžných čísel jako (A + b) (C + d) pomocí metody „první, vnitřní, vnější, poslední“ (FOIL) dát (A + b) (C + d) = ac + před naším letopočtem + inzerát + bd. Jediné, co si musíte pamatovat, je zjednodušit všechny případyi2. Například:
\ begin {aligned} z × w & = (2 -4i) (3 + 5i) \\ & = (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ & = 6 -12i + 10i - 20i ^ 2 \\ & = 6 -2i + 20 \\ & = 26 + 2i \ end {zarovnáno}
Dělení komplexních čísel
Dělení komplexních čísel zahrnuje vynásobení čitatele a jmenovatele zlomku komplexním konjugátem jmenovatele. Komplexní konjugát znamená pouze verzi komplexního čísla s imaginární částí obrácenou ve znaménku. Tak proz = 2 – 4i, komplexní konjugátz = 2 + 4i, a prow = 3 + 5i, w = 3 −5i. Pro problém:
\ frac {z} {w} = \ frac {2 -4i} {3 + 5i}
Potřebný konjugát jew*. Vydělte čitatele a jmenovatele tímto, čímž získáte:
\ frac {z} {w} = \ frac {(2 -4i) (3 -5i)} {(3 + 5i) (3-5i)}
A pak se propracujete jako v předchozí části. Čitatel udává:
\ begin {zarovnaný} (2 -4i) (3 -5i) & = 6 -12i- 10i + 20i ^ 2 \\ & = -14-22i \ end {zarovnaný}
A jmenovatel dává:
\ begin {zarovnáno} (3 + 5i) (3-5i) & = 9 + 15i - 15i -25i ^ 2 \\ & = 9 + 25 \\ & = 34 \ end {zarovnáno}
To znamená:
\ begin {aligned} \ frac {z} {w} & = \ frac {-14 - 22i} {34} \\ \, \\ & = \ frac {-14} {34} - \ frac {22i} { 34} \\ \, \\ & = \ frac {-7} {17} - \ frac {11i} {17} \ end {zarovnáno}
Zjednodušení komplexních čísel
Podle potřeby použijte výše uvedená pravidla ke zjednodušení složitých výrazů. Například:
z = \ frac {(4 + 2i) + (2 -i)} {(2 + 2i) (2+ i)}
To lze zjednodušit pomocí pravidla přidání v čitateli, pravidla násobení ve jmenovateli a následného dokončení dělení. Pro čitatele:
(4 + 2i) + (2 - i) = 6 + i
Pro jmenovatele:
\ begin {zarovnáno} (2 + 2i) (2+ i) & = 4 + 4i + 2i + 2i ^ 2 \\ & = (4 -2) + 6i \\ & = 2 + 6i \ end {zarovnáno}
Jejich vrácením na místo získáte:
z = \ frac {6 + i} {2 + 6i}
Násobení obou částí konjugátem jmenovatele vede k:
\ begin {aligned} z & = \ frac {(6 + i) (2 - 6i)} {(2 + 6i) (2 -6i)} \\ \, \\ & = \ frac {12 + 2i -36i -6i ^ 2} {4 + 12i -12i -36i ^ 2} \\ \, \\ & = \ frac {18 - 34i} {40} \\ \, \\ & = \ frac {9 - 17i} {20} \\ \, \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {zarovnáno}
To tedy znamenázzjednodušuje takto:
\ begin {aligned} z & = \ frac {(4 + 2i) + (2 - i)} {(2 + 2i) (2+ i)} \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {zarovnáno}
