Písmeno E může mít v matematice dva různé významy, v závislosti na tom, zda se jedná o velké písmeno E nebo malé písmeno e. Velké písmeno E obvykle vidíte na kalkulačce, což znamená zvýšit číslo, které následuje po něm, na mocninu 10. Například 1E6 by znamenalo 1 × 106nebo 1 milion. Normálně je použití E vyhrazeno číslům, která by byla příliš dlouhá na to, aby se zobrazila na obrazovce kalkulačky, pokud by byla napsána rukou.
Matematici používají malá písmena e pro mnohem zajímavější účel - pro označení Eulerova čísla. Toto číslo, stejně jako π, je iracionální číslo, protože má neopakující se desetinnou čárku, která se táhne do nekonečna. Zdá se, že stejně jako iracionální osoba nemá iracionální číslo smysl, ale číslo, které e označuje, nemusí mít smysl, aby bylo užitečné. Ve skutečnosti je to jedno z nejužitečnějších čísel v matematice.
E ve vědecké notaci a význam 1E6
K vyjádření čísla ve vědecké notaci nepotřebujete kalkulačku. Jednoduše můžete nechat E stát základní kořen exponenta, ale pouze když je základna 10. Nepoužívali byste E, abyste postavili základnu 8, 4 nebo jakoukoli jinou základnu, zvláště pokud základnou je Eulerovo číslo, např.
Když použijete E tímto způsobem, napíšete čísloXEy, kdeXje první sada celých čísel v čísle ayje exponent. Například byste napsali číslo 1 milion jako 1E6. V běžném vědeckém zápisu je to 1 × 106, nebo 1 následovaný 6 nulami. Podobně 5 milionů by bylo 5E6 a 42 732 by bylo 4,27E4. Při psaní čísla ve vědecké notaci, ať už používáte E nebo ne, obvykle zaokrouhlíte na dvě desetinná místa.
Odkud pochází Eulerovo číslo, e?
Číslo představované písmenem e objevil matematik Leonard Euler jako řešení problému, který před 50 lety představil jiný matematik Jacob Bernoulli. Bernoulliho problém byl finanční.
Předpokládejme, že dáte 1 000 $ do banky, která platí 100% roční složený úrok, a necháte to tam rok. Budete mít 2 000 dolarů. Nyní předpokládejme, že úroková sazba je poloviční, ale banka ji platí dvakrát ročně. Na konci roku byste měli 2 250 $. Nyní předpokládejme, že banka zaplatila pouze 8,33%, což je 1/12 ze 100%, ale platila to 12krát ročně. Na konci roku byste měli 2 613 $. Obecná rovnice pro tento postup je:
\ bigg (1 + \ frac {r} {n} \ bigg) ^ n
kderje 1 an je platební období.
Ukazuje se, že jak se n blíží nekonečnu, výsledek se přibližuje a přibližuje k e, což je 2,7182818284 na 10 desetinných míst. Takto to objevil Euler. Maximální návratnost investice 1 000 $ za jeden rok by byla 2 718 $.
Eulerovo číslo v přírodě
Exponenty s e jako základnou jsou známé jako přirozené exponenty a zde je důvod. Pokud vykreslíte graf o
y = e ^ x
dostanete křivku, která se exponenciálně zvyšuje, stejně jako kdybyste křivku vykreslili se základnou 10 nebo jiným číslem. Avšak křivkay= eXmá dvě speciální vlastnosti. Pro jakoukoli hodnotuX, hodnotayrovná se hodnotě sklonu grafu v tomto bodě a rovná se také ploše pod křivkou až do tohoto bodu. Díky tomu je e zvláště důležité číslo v počtu a ve všech oblastech vědy, které používají počet.
Logaritmická spirála, kterou představuje rovnice
r = ae ^ {bθ}
se vyskytuje v celé přírodě, v mušlích, fosíliích a květinách. Navíc se e objevuje v mnoha vědeckých kontextech, včetně studií elektrických obvodů, zákonů vytápění a chlazení a tlumení pružin. I když to bylo objeveno před 350 lety, vědci pokračují v hledání nových příkladů Eulerova čísla v přírodě.