Křížový produkt (vektor): Definice, vzorec, vlastnosti (s diagramy a příklady)

Součin dvou skalárních veličin je skalární a součin skaláru s vektorem je vektor, ale co součin dvou vektorů? Je to skalární nebo jiný vektor? Odpověď je, může to být buď!

Existují dva způsoby, jak vzít vektorový produkt. Jeden je tím, že vezmeme jejich tečkový součin, který získá skalární, a druhým, že vezmeme jejich křížový součin, který získá další vektor. Který produkt se používá, závisí na konkrétním scénáři a na tom, jaké množství se snažíte najít.

Křížový součin dvou vektorů poskytuje třetí vektor, který ukazuje ve směru kolmém na rovina překlenutá dvěma vektory a jejíž velikost závisí na relativní kolmosti těchto dvou vektory.

Nejprve definujeme křížový součin jednotkových vektorůi​, ​jak(vektory o velikosti 1, které ukazují nax-, y-az-směr směrů standardního kartézského souřadného systému) následovně:

Všimněte si, že tyto vztahy jsou antikomutativní, to znamená, že pokud přepneme pořadí vektorů, ze kterých vezmeme součin, převrátí znaménko součinu:

Výše uvedené definice můžeme použít k odvození vzorce pro součin dvou trojrozměrných vektorů​. ​Nejprve napište vektoryAabjak následuje:

Vynásobením těchto dvou vektorů získáme:

Poté pomocí výše uvedených vztahů jednotkových vektorů se to zjednoduší na:

(​Všimněte si, že výrazy, jejichž součin je 0, jsou výrazy, které tvoří bodový součin (nazývaný také skalární součin)!To není náhoda.)

Jinými slovy:

Velikost křížového produktu lze zjistit pomocí Pythagorovy věty.

Vzorec křížového produktu lze také vyjádřit jako determinant následující matice:

Další, často velmi pohodlná formulace křížového produktu je (odvození najdete na konci tohoto článku):

Kde:

• |​A| je velikost (délka) vektoruA​
• |​b| je velikost (délka) vektorub​
• θ je úhel mezi Aa b​
• ​nje jednotkový vektor kolmý na rovinu překlenutou o Aab​

V popisu kříže se uvádí, že směr kříže je kolmý na rovinu překlenutou vektoremAa vektorb. Ale to ponechává dvě možnosti: Může to ukazovatmimoletadlo nebodoletadlo překlenuté těmito vektory. Realita je taková, že si můžeme ve skutečnosti vybrat buď, pokud budeme konzistentní. Preferovaný směr, který si zvolili matematici i vědci, však určuje něco, čemu se říkápravidlo pravé ruky​.

Chcete-li určit směr vektorového křížového produktu pomocí pravidla pravé ruky, nasměrujte ukazováček pravé ruky ve směru vektoruAa prostřední prst ve směru vektorub. Palec pak ukazuje ve směru vektoru křížového produktu.

Někdy je obtížné tyto směry zobrazit na plochém kousku papíru, takže se často používají následující konvence:

Abychom označili vektor, který jde na stránku, nakreslíme kruh s X v něm (představte si to jako ocasní pera na konci šipky, jak se na něj díváte zezadu). Abychom označili vektor, který jde ze stránky opačným směrem, nakreslíme kruh s tečkou (myslíme na to jako na špičku šipky směřující ven ze stránky).

•••na

Následuje několik vlastností vektorového křížového produktu:

Když je vektorový křížový produkt formulován z hlediska sin (θ), jeho velikost může být interpretována jako představující oblast rovnoběžníku překlenutou dvěma vektory. Je to proto, že proa × b​, |​b| sin (θ) = výška rovnoběžníku, jak je znázorněno, a |A| je základna.

•••Dana Chen | Vědění

Velikost vektorového trojitého produktua (b × c) lze zase interpretovat jako objem kvádru překlenutého vektoryA​, ​baC. To je proto, že(b × c) dává vektor, jehož velikost je oblast překlenutá vektoremba vektorC, a jehož směr je kolmý k této oblasti. Vezmeme-tečkový součin vektoruAs tímto výsledkem v podstatě znásobí základní plochu krát výšku.

​Příklad 1:Síla na částici nábojeqpohybující se rychlostíprotiv magnetickém poliBdarováno:

Předpokládejme, že elektron prochází magnetickým polem 0,005 T rychlostí 2 × 10⁷ slečna. Pokud prochází kolmo polem, pak síla, kterou pocítí, je:

Pokud však elektron cestuje rovnoběžně s polem, pak θ = 0 a sin (0) = 0, takže síla je 0.

Uvědomte si, že pro elektron procházející kolmo polem tato síla způsobí, že se bude pohybovat po kruhové dráze. Poloměr této kruhové dráhy lze zjistit nastavením magnetické síly rovné dostředivé síle a řešením poloměrur​:

U výše uvedeného příkladu vyplnění čísel vede k poloměru asi 0,0227 m.

​Příklad 2:Fyzikální veličina točivého momentu je také vypočítána pomocí vektorového křížového součinu. Pokud sílaFse aplikuje na objekt v polozerz otočného bodu točivý momentτo otočném bodě je dáno vztahem:

Zvažte situaci, ve které je síla 7 N aplikována pod úhlem na konec tyče 0,75, jejíž druhý konec je připevněn k čepu. Úhel meziraFje 70 stupňů, takže lze vypočítat točivý moment:

Směr točivého momentu,n, je zjištěno pomocí pravidla pravé ruky. Pokud je aplikován na výše uvedený obrázek, udává směr vycházející ze stránky nebo obrazovky. Obecně platí, že točivý moment aplikovaný na objekt bude chtít způsobit rotaci objektu. Vektor krouticího momentu bude vždy ležet ve stejném směru jako osa otáčení.

Ve skutečnosti lze v této situaci použít zjednodušené pravidlo pro pravou ruku: Pomocí pravé ruky „uchopte“ osu otáčení takovým způsobem, že se vaše prsty kroutí kolem ve směru souvisejícího točivého momentu, který bude chtít způsobit, aby se objekt otočil. Váš palec pak ukazuje ve směru vektoru točivého momentu.

Zvažte dva vektoryAabs úhlemθmezi nimi. Pravý trojúhelník může být vytvořen nakreslením čáry od špičky vektoruAdo kolmého styčného bodu na vektorb​.

Pomocí Pythagorovy věty získáme následující vztah:

Zjednodušení výrazu, dostaneme následující:

Dále vynásobte obě strany rovnice znakem |b​|² a přesuňte první člen na pravou stranu, abyste získali:

Při práci na pravé straně vše znásobte a pak zjednodušte:

Nastavením výsledku rovného levé straně předchozí rovnice získáme následující vztah:

To nám ukazuje, že velikosti jsou ve vzorci stejné, takže poslední věcí, kterou musíme udělat, abychom vzorec dokázali, je ukázat, že směry jsou také stejné. Toho lze dosáhnout jednoduše tím, že vezmeme tečkové produkty zAsa × babsa × ba ukazuje, že jsou 0, což znamená, že směra × b je kolmá na obě.