Součin dvou skalárních veličin je skalární a součin skaláru s vektorem je vektor, ale co součin dvou vektorů? Je to skalární nebo jiný vektor? Odpověď je, může to být buď!
Existují dva způsoby, jak násobit vektory společně. Jeden je tím, že vezmeme jejich tečkový součin, který získá skalární, a druhým, že vezmeme jejich křížový součin, který získá další vektor. Který produkt použít závisí na konkrétním scénáři a na tom, jaké množství se snažíte najít.
TheTečkovaný produktse někdy označuje jakoskalární součinnebovnitřní produkt. Geometricky si můžete představit součin bodů mezi dvěma vektory jako způsob vynásobení vektorových hodnot, které počítají pouze příspěvky ve stejném směru.
- Poznámka: Tečkované výrobky mohou být negativní nebo pozitivní, ale tato značka není ukazatelem směru. Ačkoli v jedné dimenzi je vektorový směr často označen znaménkem, skalární veličiny mohou mít také přidružené značky, které nejsou ukazateli směru. Dluh je jen jedním z mnoha příkladů tohoto.
Definice produktu Dot
Tečkový produkt vektorůA = (aX, ay)ab = (narX, by)ve standardním kartézském souřadnicovém systému je definován takto:
\ bold {a \ cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
Když si vezmete tečkový součin vektoru, objeví se zajímavý vztah:
\ bold {a \ cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = | \ bold {a} | ^ 2
Kde |A| je velikost (délka)Apodle Pythagorovy věty.
Další vzorec tečkového produktu lze odvodit pomocí zákona kosinů. To se děje následovně:
Zvažte nenulové vektoryAabspolu s jejich rozdílným vektorema - b. Uspořádejte tři vektory tak, aby tvořily trojúhelník.
Zákon kosinů z trigonometrie nám říká, že:
| \ bold {ab} | ^ 2 = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta )
A pomocí definice tečkového produktu dostaneme:
| \ bold {ab} | ^ 2 = (\ bold {ab}) \ cdot (\ bold {ab}) = (a_x-b_X) ^ 2 + (a_y-b_y) ^ 2 \\ = (a_x) ^ 2 + (b_x) ^ 2 - 2a_xb_x + (a_y) ^ 2 + (b_y) ^ 2 - 2a_yb_y \\ = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 \ bold {a \ cdot b}
Nastavením obou výrazů na stejnou hodnotu a následným zjednodušením získáme:
\ cancel {| \ bold {a} | ^ 2} + \ cancel {| \ bold {b} | ^ 2} - 2 \ bold {a \ cdot b} = \ cancel {| \ bold {a} | ^ 2 } + \ zrušit {| \ bold {b} | ^ 2} - 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ text {} \\\ znamená \ boxed {\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta)}
Tato formulace umožňuje, aby vstoupila do hry naše geometrická intuice. Množství |A| cos (θ) je velikost projekce vektoruAna vektorb.
Můžeme si tedy představit součin bodů jako projekci jednoho vektoru na druhý a poté součin jejich hodnot. Jinými slovy to lze považovat za produkt jednoho vektoru s množstvím druhého vektoru ve stejném směru jako on sám.
Vlastnosti produktu Dot
Následuje několik vlastností tečkového produktu, které vám mohou připadat užitečné:
\ # \ text {1. If} \ theta = 0 \ text {, then} \ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} |
Je to proto, že cos (0) = 1.
\ # \ text {2. If} \ theta = 180 \ text {, then} \ bold {a \ cdot b} = - | \ bold {a} || \ bold {b} |
Je to proto, že cos (180) = -1.
\ # \ text {3. If} \ theta = 90 \ text {, then} \ bold {a \ cdot b} = 0
Je to proto, že cos (90) = 0.
- Poznámka: Pro 0 <
θ
<90, tečkovaný produkt bude kladný a pro 90 <
θ
<180, bodový součin bude záporný.
\ # \ text {4. } \ bold {a \ cdot b} = \ bold {b \ cdot a}
To vyplývá z aplikace komutativního zákona na definici tečkového produktu.
\ # \ text {5. } \ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
Důkaz:
\ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a} \ cdot (b_x + c_x, b_y + c_y) \\ = a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y) \\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_yb_y) + (a_xc_x + a_yc_y) \\ = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
\ # \ text {6. } c (\ bold {a \ cdot b}) = (c \ bold {a}) \ cdot \ bold {b}
Důkaz:
c (\ bold {a \ cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y) \\ = ca_xb_x + ca_yb_y \\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y \\ = (c \ bold {a}) \ cdot \ tučně {b}
Jak najít produkt Dot
Příklad 1:Ve fyzice práce vykonaná silouFna předmětu, když prochází posunemd, je definován jako:
W = \ bold {F} \ cdot \ bold {d} = | \ bold {F} || \ bold {d} | \ cos (\ theta)
Kde θ je úhel mezi vektorem síly a vektorem posunutí.
Množství práce silou je údajem o tom, jak moc tato síla přispěla k posunutí. Pokud je síla ve stejném směru jako posunutí (cos (θ) = 0), přispívá maximálně. Pokud je kolmá na posunutí (cos (Ѳ) = 90), nepřispívá vůbec. A pokud je naproti posunutí (cos (θ) = 180), znamená to negativní příspěvek.
Předpokládejme, že dítě tlačí vláček přes dráhu působením síly 5 N pod úhlem 25 stupňů vzhledem k linii dráhy. Kolik práce dělá dítě ve vlaku, když se s ním pohybuje 0,5 m?
Řešení:
F = 5 \ text {N} \\ d = 0,5 \ text {m} \\ \ theta = 25 \ stupeň \\
Pomocí definice práce s bodovým produktem a připojením hodnot pak získáme:
W = Fd \ cos (\ theta) = 5 \ times0,5 \ times \ cos (25) = \ v krabici {2,27 \ text {J}}
Z tohoto konkrétního příkladu by mělo být ještě jasnější, že použití síly kolmé ke směru posunutí nefunguje. Pokud dítě tlačilo vlak v pravém úhlu k trati, vlak se nebude pohybovat po trati dopředu ani dozadu. Je také intuitivní, že práce dítěte ve vlaku se bude zvětšovat, jak se zmenšuje úhel a síla a posunutí jsou blíže vyrovnání.
Příklad 2:Síla je dalším příkladem fyzické veličiny, kterou lze vypočítat pomocí bodového součinu. Ve fyzice se síla rovná práci dělené časem, ale lze ji také zapsat jako bodový součin síly a rychlosti, jak je znázorněno:
P = \ frac {W} {t} = \ frac {\ bold {F \ cdot d}} {t} = \ bold {F} \ cdot \ frac {\ bold {d}} {t} = \ bold { F \ cdot v}
Kdeprotije rychlost.
Uvažujme o předchozím příkladu dítěte, které si hraje s vlakem. Pokud namísto toho řekneme, že působí stejná síla, která způsobí, že se vlak bude pohybovat rychlostí 2 m / s po trati, pak můžeme použít bodový produkt k nalezení síly:
P = \ bold {F \ cdot v} = Fv \ cos (\ theta) = 5 \ times2 \ times \ cos (25) = 9.06 \ text {Watts}
Příklad 3:Dalším příkladem, kdy se tečkové produkty používají ve fyzice, je případ magnetického toku. Magnetický tok je množství magnetického pole procházejícího danou oblastí. Nachází se jako bodový produkt magnetického poleBs oblastíA. (Směr vektoru oblasti jenormální, nebo kolmo na povrch oblasti.)
\ Phi = \ bold {B \ cdot A}
Předpokládejme, že pole 0,02 Tesla prochází drátěnou smyčkou o poloměru 10 cm a svírá s normálou úhel 30 stupňů. Co je to tok?
\ Phi = \ bold {B \ cdot A} = BA \ cos (\ theta) = 0,02 \ krát (\ pi \ times0,1 ^ 2) \ times \ cos (30) = 0,000544 \ text {Wb}
Když se tento tok změní, buď změnou hodnoty pole, změnou oblasti smyčky nebo změnou úhel otočením zdroje smyčky nebo pole, bude ve smyčce indukován proud, generování elektřina!
Znovu si povšimněte, jak je úhel relevantní intuitivním způsobem. Pokud by úhel byl 90 stupňů, znamenalo by to, že pole bude ležet ve stejné rovině jako oblast a smyčkou by neprocházely žádné siločáry, což by vedlo k žádnému toku. Množství toku se poté zvyšuje, čím blíže se úhel mezi polem a normálem dostane na 0. Bodový produkt nám umožňuje určit, kolik pole je ve směru kolmém k povrchu, a proto přispívá k toku.
Vector Projection and the Dot Product
V dřívějších částech bylo zmíněno, že bodový produkt lze považovat za způsob promítání jednoho vektoru na druhý a následného znásobení jejich velikostí. Proto by nemělo být překvapující, že vzorec pro vektorovou projekci lze odvodit z tečkového součinu.
Za účelem promítnutí vektoruAna vektorb, vezmeme tečkový součin zAsjednotkový vektorve směruba poté tento skalární výsledek vynásobte stejným jednotkovým vektorem.
Jednotkový vektor je vektor délky 1, který leží v určitém směru. Jednotkový vektor ve směru vektorubje prostě vektorbděleno jeho velikostí:
\ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |}
Tato projekce tedy je:
\ text {projekce} \ bold {a} \ text {onto} \ bold {b} = \ velký (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} \ Big) \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b}
Produkt Dot ve vyšší dimenzi
Stejně jako vektory existují ve vyšší dimenzi, existuje i bodový součin. Představte si příklad dítěte, které znovu tlačí vlak. Předpokládejme, že tlačí jak dolů, tak pod úhlem ke straně dráhy. Ve standardním souřadném systému by vektory síly a posunutí musely být reprezentovány jako trojrozměrné.
vnrozměrů je bodový produkt definován takto:
\ bold {a \ cdot b} = \ overset {n} {\ underset {i = 1} {\ sum}} a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +... + a_nb_n
Stále platí všechny stejné vlastnosti tečkového produktu z minulosti a zákon kosinusů opět dává vztah:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta)
Kde je velikost každého vektoru nalezena pomocí následujícího, opět v souladu s Pythagorovou větou:
| \ bold {a} | = \ sqrt {\ bold {a \ cdot a}} = \ sqrt {(a_1) ^ 2 + (a_2) ^ 2 +... + (a_n) ^ 2}
Jak najít bodový produkt ve třech rozměrech
Příklad 1:Tečkový produkt je obzvláště užitečný, když potřebujete zjistit úhel mezi dvěma vektory. Předpokládejme například, že chceme určit úhel meziA= (2, 3, 2) ab= (1, 4, 0). I když načrtnete tyto dva vektory ve 3 prostoru, může být velmi obtížné zabalit hlavu kolem geometrie. Ale matematika je poměrně přímočará, a to s využitím skutečnosti, že:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ znamená \ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ tučné {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ tučné {b} |} \ velké)
Poté vypočítáme tečkový součin zAab:
\ bold {a \ cdot b} = 2 \ times1 + 3 \ times4 + 2 \ times0 = 14
A výpočet velikostí každého vektoru:
| \ bold {a} | = \ sqrt {2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 2 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4,12 \\ | \ bold {b} | = \ sqrt {1 ^ 2 + 4 ^ 2 + 0 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4,12
A nakonec vše zapojíme, dostaneme:
\ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big) = \ cos ^ {- 1} \ Velký (\ frac {14} {4,12 \ krát 4,12} \ Velký) = \ orámovaný {34,4 \ stupeň}
Příklad 2:Kladný náboj sedí v souřadnicovém bodě (3, 5, 4) v trojrozměrném prostoru. V jakém bodě podél čáry směřující ve směru vektoruA= (6, 9, 5) je elektrické pole největší?
Řešení: Z našich znalostí toho, jak síla elektrického pole souvisí se vzdáleností, víme, že jde o bod na řádku, který je nejblíže kladnému náboji, je místo, kde bude pole nejsilnější. Z našich znalostí o bodových produktech bychom mohli hádat, že použití vzorce promítání má zde smysl. Tento vzorec by nám měl dát vektor, jehož hrot je přesně v místě, které hledáme.
Musíme vypočítat:
\ text {Projekce} (3, 5, 4) \ text {onto} \ bold {a} = \ Big ((3,5,4) \ cdot \ frac {\ bold {a}} {| \ bold { a} | ^ 2} \ Big) \ bold {a}
Chcete-li tak učinit, nejprve si najděte |A|2:
| \ bold {a} | ^ 2 = 6 ^ 2 + 9 ^ 2 + 5 ^ 2 = 142
Tečkovaný produkt:
(3,5,4) \ cdot (6,9,5) = 3 \ times6 + 5 \ times9 + 4 \ times5 = 83
Dělíme to |A|2 dává 83/142 = 0,585. Pak vynásobte tento skalárAdává:
0,585 \ bold {a} = 0,585 \ krát (6,9,5) = (3,51,5,27,2,93)
Proto je bod podél čáry, kde je pole nejsilnější, (3,51; 5,27; 2,93).